一道数列,证明也要在数列（an）中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n属于N*（1）证明（an-n）是等比数列；（2）设数列（an）的前n项和Sn,求Sn+1-4Sn的最大值.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 14:21:28
一道数列,证明也要在数列（an）中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n属于N*（1）证明（an-n）是等比数列；（2）设数列（an）的前n项和Sn,求Sn+1-4Sn的最大值.
一道数列,证明也要
在数列（an）中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n属于N*
（1）证明（an-n）是等比数列；（2）设数列（an）的前n项和Sn,求Sn+1-4Sn的最大值.
一道数列,证明也要在数列（an）中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n属于N*（1）证明（an-n）是等比数列；（2）设数列（an）的前n项和Sn,求Sn+1-4Sn的最大值.
(1)
a(n+1)=4an-3n+1
a(n+1)=4an-4n+n+1
a(n+1)-(n+1)=4(an-n)
[a(n+1)-(n+1)]/(an-n)=4,为定值.
a1=2 a1-1=1
数列{an-n}是以1为首项,4为公比的等比数列.
(2)
an-n=4^(n-1)
an=4^(n-1)+n
Sn=(4^n-1)/(4-1)+n(n+1)/2=(4^n-1)/3+n(n+1)/2
Sn+1=[4^(n+1)-1]/3+(n+1)(n+2)/2
Sn+1-4Sn
=[4^(n+1)-1-4^(n+1)+4]/3+(n+1)(n+2)/2-4n(n+1)/2
=3/3+(n²+3n+2-4n²-4n)/2
=1+(-3n²-n+2)/2
=1+[-3(n+1/6)²+25/12]/2
当n=1时,Sn+1-4Sn有最大值0
（1）因为an+1=4an-3n+1
所以(an+1)-(n+1)=4(an-n)，即｛(an)-n｝是等比数列。
（2） xuzhouliuying 已解。
(1)a(n+1)=4a(n)-3n+1
令b(n)=a(n)-n
b(n+1)=a(n+1)-(n+1)=4a(n)-3n+1-(n+1)=4a(n)-4n=4[a(n)-n]=4b(n)
即b(n)为等比数例
(2)由上面有a(n)=b(n)+n
S(n)=b(1)+b(2)+.....+b(n)+(1+2+......+n)=(4^n-1)/3+n(n...
全部展开
(1)a(n+1)=4a(n)-3n+1
令b(n)=a(n)-n
b(n+1)=a(n+1)-(n+1)=4a(n)-3n+1-(n+1)=4a(n)-4n=4[a(n)-n]=4b(n)
即b(n)为等比数例
(2)由上面有a(n)=b(n)+n
S(n)=b(1)+b(2)+.....+b(n)+(1+2+......+n)=(4^n-1)/3+n(n+1)/2
S(n+1)=[4^(n+1)-1]/3+(n+1)(1+n+1)/2
S(n+1)-4S(n)带入可以化简成一个关于n的二次方程
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