设R与R’ 都是A上的等价关系,证明R^R' 也是A上的等价关系.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/02 09:33:04
设R与R’ 都是A上的等价关系,证明R^R' 也是A上的等价关系.
设R与R’ 都是A上的等价关系,证明R^R' 也是A上的等价关系.
设R与R’ 都是A上的等价关系,证明R^R' 也是A上的等价关系.
1、(自反性)
对于任意x∈A,xRx^xR'x,所以x(R^R')x
2、（对称性）
对于任意x,y∈A,xRy等价于yRx,xR'y等价于yR'x
所以x(R^R')y等价于xRy^xR'y等价于yRx^yR'x等价于y(R^R')x
3、（传递性）
对于任意x,y,z∈A,xRy,yRz推出xRz,xR'y,yR'z推出xR'z
则
x(R^R')y,y(R^R')z等价于xRy^xR'y,yRz^yR'z,推出xRz^xR'z等价于x(R^R')z
1对于任意的a∈A，有（a，a)∈R且有（a，a）∈R‘，
所以（a，a）∈R^R' 。
故具有自反性
2对于任意的(a,b)∈R^R' ,则有（a，b）∈R,且（a,b）∈R',
因为R，R’具有自反性
所以（b，a）∈R且（b，a）∈R‘，
所以（b，a）∈R^R' 。
所以具有对称性
3对于任意的a,b,c∈A,若（a，b）∈R...
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1对于任意的a∈A，有（a，a)∈R且有（a，a）∈R‘，
所以（a，a）∈R^R' 。
故具有自反性
2对于任意的(a,b)∈R^R' ,则有（a，b）∈R,且（a,b）∈R',
因为R，R’具有自反性
所以（b，a）∈R且（b，a）∈R‘，
所以（b，a）∈R^R' 。
所以具有对称性
3对于任意的a,b,c∈A,若（a，b）∈R^R' 且（b，c）∈R^R'
则有（a,b）∈R且（a,b）∈R'同时（b,c）∈R且（b,c）∈R'
R，R’具有传递性
（a,c）∈R，（a,c）∈R‘
所以(a,c)∈R^R'
所以具有传递性
综上所述 R^R' 也是A上的等价关系
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