x→∞时,limx/sinx=∞.求具体的推导过程.

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/24 10:57:57
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x→∞时,limx/sinx=∞.求具体的推导过程.
它的倒数是一个有界值乘以无穷小,即所得结果味无穷小,所以原式等于无穷大

首先,做一个单位圆,取起始边为x正半轴,在第一象限的角,角的大小为x,这个角为AOB,
A,B都是圆上的点,B在x正半轴上,
那么我们容易知道,
三角形AOB的面积就是S1=1/2AO*BO*sin(角AOB)=1/2*1*1*sinx=sinx/2
在第一象限的扇形AOB的面积S2=1/2*r^2*x=x/2
显然,扇形面积比三角形面积大了弧AB和弦AB围...

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首先,做一个单位圆,取起始边为x正半轴,在第一象限的角,角的大小为x,这个角为AOB,
A,B都是圆上的点,B在x正半轴上,
那么我们容易知道,
三角形AOB的面积就是S1=1/2AO*BO*sin(角AOB)=1/2*1*1*sinx=sinx/2
在第一象限的扇形AOB的面积S2=1/2*r^2*x=x/2
显然,扇形面积比三角形面积大了弧AB和弦AB围成的图形的面积,
所以说S1≤S2也就是说sinx/2≤x/2,也就是说sinx≤x
过B作圆的切线,和OA延长线交于C,
同理我们可以知道三角形COB的面积不小于扇形AOB的面积,
S3=1/2*OB*OC=1/2*1*tanx=1/2tanx
S2≤S3,也就是说x/2≤tanx/2,也就是说x≤tanx
然后我可以得出
1=lim(sinx/sinx)≤lim(x/sinx)≤lim(tanx/sinx)=lim(1/cosx)=lim(1/1)=1
即1≤lim(x/sinx)≤1
所以可以知道lim(x/sinx)=1

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