设a、b、c∈正整数,求证:[根号(a^2+b^2)]+[根号(b^2+c^2)]+[根号(c^2+a^2)]≥（根号2）×(a+b+c).
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 18:41:35
设a、b、c∈正整数,求证:[根号(a^2+b^2)]+[根号(b^2+c^2)]+[根号(c^2+a^2)]≥（根号2）×(a+b+c).
设a、b、c∈正整数,求证:[根号(a^2+b^2)]+[根号(b^2+c^2)]+[根号(c^2+a^2)]≥（根号2）×(a+b+c).
设a、b、c∈正整数,求证:[根号(a^2+b^2)]+[根号(b^2+c^2)]+[根号(c^2+a^2)]≥（根号2）×(a+b+c).
由于(a-b)^2>=0
所以a^2+b^2>=2ab
两边同加a^2+b^2
2(a^2+b^2)>=(a+b)^2
开根号即（根号2）[根号(a^2+b^2)]>=a+b
即[根号(a^2+b^2)]>=(根号2/2)(a+b)
同理[根号(b^2+c^2)]>=(根号2/2)(b+c)
[根号(c^2+a^2)]>=(根号2/2)(c+a)
以上三式相加得证
根号[(a^2+b^2)/2]≥(a+b)/2
同理
根号[(b^2+c^2)/2]≥(b+c)/2
根号[(c^2+a^2)/2]≥(c+a)/2
以上三式相加即可
【设x,y>0,(x-y)2≥0,===>x2-2xy+y2≥0.===>x2+y2≥2xy.===>2(x2+y2)≥x2+2xy+y2.===>2(x2+y2)≥(x+y)2.===>√[2(x2+y2)]≥x+y.】证明：由√【2（x2+y2)]≥x+y(x,y>0)可知，当a,b,c＞0时，有√[2(a2+b2)]≥a+b,√[2(b2+c2)]≥b+c,√[2(c2+a2)]≥c+a.三...
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【设x,y>0,(x-y)2≥0,===>x2-2xy+y2≥0.===>x2+y2≥2xy.===>2(x2+y2)≥x2+2xy+y2.===>2(x2+y2)≥(x+y)2.===>√[2(x2+y2)]≥x+y.】证明：由√【2（x2+y2)]≥x+y(x,y>0)可知，当a,b,c＞0时，有√[2(a2+b2)]≥a+b,√[2(b2+c2)]≥b+c,√[2(c2+a2)]≥c+a.三式相加可得(√2)[√(a2+b2)+√(b2+c2)+√(c2+a2)]≥2(a+b+c).===>√(a2+b2)+√(b2+c2)+√(c2+a2)≥(√2)(a+b+c).等号仅当a=b=c>0时取得。
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