等边三角形的内切圆与外接圆半径的比是1：2,则正四面体的内切球与外接球半径的比是

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2025/02/04 07:08:09

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解法一:
过顶点作对面的垂线O(此为底面三角形的内心/外心/垂心等)所以作底面三角形的某一条高.然后勾股定理计算可得.
解法二:
画图可以知道正四面体某一面上的高可以表示为R+r(R为外接球半径r为内切球半径,且两球心重合,R为球心到顶点距离,r为球心到面的距离)然后对于内切球半径r可以根据
V=r(S1+S2+S3+S4)/3求得(V为四面体体积,S1,S2,S3,S4分别为四个面的面积)
解法三:
考虑甲烷的四面体构型,中心C原子为SP3等性杂化,每个杂化轨道占原S能级的1/4
则由键角公式CosA=-a/(1-a)=-1/3得到r/R=1/3 (其中a=1/4)

设棱长为1，则高√6/3，外接球半径R=√6/4，内切球半径r=√6/12,内切球与外接球半径比：
r:R=1:3.

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