求过点(1,-3)且与曲线y=x^2相切的直线方程
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/21 22:06:50
求过点(1,-3)且与曲线y=x^2相切的直线方程
求过点(1,-3)且与曲线y=x^2相切的直线方程
求过点(1,-3)且与曲线y=x^2相切的直线方程
y=x^2
y'=2x
设切点为(a,a^2),则切线为y=2a(x-a)+a^2=2ax-a^2
代入点(1,-3),-3=2a-a^2
即a^2-2a-3=0
(a-3)(a+1)=0
a=3,-1
故直线有两条：
y=6x-9
或y=-2x-1
设该直线方程为y=ax+b；由于该直线与y=x^2相切，设交点为（x_0，y_0），又因为y=x^2的切线斜率为x^2的导数，即为2x，因此在点（x_0，y_0）处的切线斜率为2x_0，所以有a=2x_0，将点(1,-3)和点（x_0，y_0）代入y=ax+b有
(1) a+b=-3;
(2) y_0 = 2x_0 * x_0 + b;
(3) ...
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设该直线方程为y=ax+b；由于该直线与y=x^2相切，设交点为（x_0，y_0），又因为y=x^2的切线斜率为x^2的导数，即为2x，因此在点（x_0，y_0）处的切线斜率为2x_0，所以有a=2x_0，将点(1,-3)和点（x_0，y_0）代入y=ax+b有
(1) a+b=-3;
(2) y_0 = 2x_0 * x_0 + b;
(3) y_0 = x_0 * x_0 (因为点（x_0，y_0）在y=x^2上)
将(1)式化为b=-a-3=-2x_0-3代入（2）式，再将（3）代入（2）
有：x_0 * x_0 - 2x_0 - 3 = 0
即（x_0 - 3）*（x_0 + 1）= 0
解得x_0 = 3或x_0 = -1；
可得a = 6，b = -9
或a = -2，b = -1
收起
△x→0时考察，△y∕△x极限，易知其左极限等于右极限
故f(x)=x^2在（-∞，+∞）是可导的
余下过程同上 推荐答案