如图,已知CD是圆O的弦,A为弧CD的中点,E为CD延长线上一点,EG切圆O于G,AG交CD于K.（1）求证：KE=GE（2）若AC∥EG,DK/CK=3/5,AK=2√10,求圆O的半径
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 10:42:12
如图,已知CD是圆O的弦,A为弧CD的中点,E为CD延长线上一点,EG切圆O于G,AG交CD于K.（1）求证：KE=GE（2）若AC∥EG,DK/CK=3/5,AK=2√10,求圆O的半径
如图,已知CD是圆O的弦,A为弧CD的中点,E为CD延长线上一点,EG切圆O于G,AG交CD于K.
（1）求证：KE=GE
（2）若AC∥EG,DK/CK=3/5,AK=2√10,求圆O的半径
如图,已知CD是圆O的弦,A为弧CD的中点,E为CD延长线上一点,EG切圆O于G,AG交CD于K.（1）求证：KE=GE（2）若AC∥EG,DK/CK=3/5,AK=2√10,求圆O的半径
第一个问题：
∵A是弧CD的中点,AC＝AD,∴∠ADC＝∠ACD.
∵A、D、G、C共圆,∴∠DAK＝∠GCK.
∵EG切⊙O于G,∴∠EGK＝∠ACG＝∠ACD＋∠GCK＝∠ADC＋∠DAK.
由三角形外角定理,有：∠EKG＝∠ADC＋∠DAK,∴∠EGK＝∠EKG,∴KE＝GE.
第二个问题：
假设CD是⊙O的直径.
∵AC∥EG,∴∠EGK＝∠CAK,又∠EGK＝∠EKG＝∠CKA,∴∠CAK＝∠CKA,∴AC＝CK.
∵DK/CK＝3/5,∴可令DK＝3x,得：CK＝5x,∴CD＝8x,又由假设,有CD是⊙O的直径,
∴CO＝AO＝4x.
∵A是弧CD的中点,∴AO⊥CO,又AO＝CO,∴AC＝√2CO＝4√2x.······①
但AC＝CK＝5x.······②
①、②的矛盾,说明CD不是⊙O的直径.
令CD的中点为H,DK＝x,则：CK＝5x,CH＝4x,∴AC＝CK＝5x.
显然有：AH⊥CH,∴由勾股定理,有：AH＝√（AC^2－CH^2）＝√（25x^2－16x^2）＝3x.
∴HK＝CK－CH＝5x－4x＝x.
显然有：AH⊥HK,∴由勾股定理,有：HK^2＋AH^2＝AK^2,∴x^2＋9x^2＝4×10,∴x＝2.
令⊙O的半径为r,则：OH＝｜r－AH｜＝｜r－3x｜.
再由勾股定理,有：CO^2＝OH^2＋CH^2,∴r^2＝｜r－3x｜^2＋（4x）^2,
∴r^2＝r^2－6rx＋9x^2＋16x^2,∴6r＝9x＋16x＝25x＝25×2,∴r＝25/3.
∴⊙O的半径为25/3.