已知ab≠0,求证a+b=1的充要条件是a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 23:32:03
已知ab≠0,求证a+b=1的充要条件是a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0
已知ab≠0,求证a+b=1的充要条件是a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0
已知ab≠0,求证a+b=1的充要条件是a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0
(a+b)(a^2-ab+b^2)-（a^2-ab+b^2)=0;
(a^2-ab+b^2)((a+b)-1）=0;
(a+b)-1=0;
a+b=1:
必要性：由a+b=1推出a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0
a^3+b^3+ab-a^2-b^2
=(a+b)(a^2-ab+b^2)-a^2+ab-b^2
由a+b=1有上式=0
充分性：由a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0推出a+b=1
a^3+b^3+ab-a^2-b^2
=(a+b)(a^2-ab+b^2)-a^2+ab-b^2<...
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必要性：由a+b=1推出a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0
a^3+b^3+ab-a^2-b^2
=(a+b)(a^2-ab+b^2)-a^2+ab-b^2
由a+b=1有上式=0
充分性：由a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0推出a+b=1
a^3+b^3+ab-a^2-b^2
=(a+b)(a^2-ab+b^2)-a^2+ab-b^2
=(a^2-ab+b^2)(a+b-1)
=(a+b-1)[(a-b/2)^2+3b^2/4]=0
因为ab≠0，所以a≠0,b≠0,所以(a-b/2)^2+3b^2/4>0
所以a+b-1=0,a+b=1
收起
充分性：
因为a+b=1，a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^2-ab+b^2
所以a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0
必要性：
因为a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0，
(a+b)(a^2-ab+b^2)-（a^2-ab+b^2)=0
所以a+b=0
所以a+b=1的充要条件是a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0
必要性:由a+b=1，得a=1-b，（1-b）^3+b^3+（1-b）b-（ 1-b）^2-b^2=0
充分性:a^3+b^3=（a+b）（a^2-ab+b^2）所以
a^3+b^3+ab-a^2-b^2=（a^2-ab+b^2）（a+b-1）=0因为当ab≠0，即a≠0，且b≠0，a^2-ab十b^2≠0所以a+b-1=0即a+b=1。即证。