对1/(x(x^7+2)算不定积分,用第二换元法,怎么算下?

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/09 06:53:53
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对1/(x(x^7+2)算不定积分,用第二换元法,怎么算下?
第二换元法是指用三角函数换元,此题不适用第二换元法.
∫ 1/[x(x⁷ + 2)] dx
= (1/2)∫ [(2 + x⁷) - x⁷]/[x(x⁷ + 2)] dx
= (1/2)∫ [1/x - x⁶/(x⁷ + 2)] dx
= 1/2 * ∫ 1/x dx - 1/2 * ∫ x⁶/(x⁷ + 2) dx
= (1/2)ln|x| - (1/2)(1/7)∫ d(x⁷ + 2)/(x⁷ + 2)
= (1/2)ln|x| - (1/14)ln|x⁷ + 2| + C
= ln|√x/(x⁷ + 2)^(1/14)| + C


∫1/(x(x^7+2)dx
（令x^7=t，则x=t^(1/7)，dx=(1/7)t^(-6/7)dt）
=∫[1/(t^(1/7)(t+2))](1/7)t^(-6/7)dt
=(1/7)∫1/(t(t+2))dt
=(1/14)∫[1/t-1/(t+2)]dt
=(1/14)[lnt-ln(t+2)]
=[ln(t/(t+2))]/14

∫1/[x(x^7 + 2)]dx
= ∫1/[x^8(1+ 2/x^7)]dx
= (-1/14)∫1/(1+ 2/x^7)d(2/x^7) (或令 t = 1/x^7，就是第二换元法)
= (-1/14)ln(1+ 2/x^7)+C。

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