求arctanx/(x(1-x^2)^1/2)的积分

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2025/01/28 11:02:37

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求arctanx/(x(1-x^2)^1/2)的积分
∫arctanx/{x[√（1－x²）]} dx
=-√(1-x²)arctanx+∫√(1-x²)/(1+x²)dx.
设x=cost,则dx=-sintdt.
∴∫√(1-x²)/(1+x²)dx
=-∫sin²t/(1+cos²t)dt
=∫(cos²t-1)/(1+cos²t)dt
=∫(1-2/(1+cos²t))dt
=t-2∫sec²t/(2+tan²t)dt
=t-2∫1/(2+tan²t)d(tant)
=t-√2∫1/(1+tan²t/2)d(tant/√2)
=t-√2arctan(tant/√2)+C
=arccosx-√2arctan(√(1-x²)/(√2x))+C,(C是积分常数).
故∫arctanx/{x[√（1－x²）]} dx
=-√(1-x²)arctanx+arccosx-√2arctan(√(1-x²)/(√2x))+C,

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