函数单调性和值域证明f（x）=(10^x-10^-x)/(10^x=10^-x)为增函数,并求其值域.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/05 22:35:55
函数单调性和值域证明f（x）=(10^x-10^-x)/(10^x=10^-x)为增函数,并求其值域.
函数单调性和值域
证明f（x）=(10^x-10^-x)/(10^x=10^-x)为增函数,并求其值域.
函数单调性和值域证明f（x）=(10^x-10^-x)/(10^x=10^-x)为增函数,并求其值域.
f(x)上下乘10^x
f(x)=(10^2x-1)/(10^2x+1)=(10^2x+1-2)/(10^2x+1)
=(10^2x+1)/(10^2x+1)-2/(10^2x+1)
=1-2/(10^2x+1)
因为10^2x>0,所以分母不为0
所以定义域是R
令a>b
则f(a)-f(b)=1-2/(10^2a+1)-1+2/(10^2b+1)
=2[(10^2a+1)-(10^2b+1)]/(10^2a+1)(10^2b+1)
分母显然大于0
(10^2a+1)-(10^2b+1)=10^2a-10^2b
a>b,2a>2b
所以10^2a-10^2b>0
所以2[(10^2a+1)-(10^2b+1)]/(10^2a+1)(10^2b+1)>0
即a>b时
f(a)>f(b)
所以f(x)是定义域内的增函数
f(x)=1-2/(10^2x+1)
10^2x>0
10^2x+1>1
所以0<1/(10^2x+1)<1
-2<-2/(10^2x+1)<0
1-2<1-2/(10^2x+1)<1+0
所以值域(-1,1)
令10^x=t
f（t）=（t-1/t）/(t+1/t)=(t^2+1-2)/(t^2+1)
=1-2/(t^2+1)
f(x)=1-2/(10^2x+1)
x增大，10^2x增大，-2/(10^2x+1)增大
易证f（x）是增函数
10^x=t t＞0
f（x）=1-2/(t^2+1)在区间（-1，1）