求解一道高二数列题（高分）已知数列｛an｝的首项a1=2／3,a（n+1）=2an／（an+1）n=1,2,3…（1）证明数列｛（1／an）-1｝是等比数列（2）求数列｛n／an｝的前n项和Sn给个详细的过程，谢谢
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 01:40:40
求解一道高二数列题（高分）已知数列｛an｝的首项a1=2／3,a（n+1）=2an／（an+1）n=1,2,3…（1）证明数列｛（1／an）-1｝是等比数列（2）求数列｛n／an｝的前n项和Sn给个详细的过程，谢谢
求解一道高二数列题（高分）
已知数列｛an｝的首项a1=2／3,a（n+1）=2an／（an+1）n=1,2,3…
（1）证明数列｛（1／an）-1｝是等比数列
（2）求数列｛n／an｝的前n项和Sn
给个详细的过程，谢谢
求解一道高二数列题（高分）已知数列｛an｝的首项a1=2／3,a（n+1）=2an／（an+1）n=1,2,3…（1）证明数列｛（1／an）-1｝是等比数列（2）求数列｛n／an｝的前n项和Sn给个详细的过程，谢谢
1/a(n+1)=an/2an+1/2an=1/2+1/(2an)
1/a(n+1)-1=1/(2an)-1/2=1/2(1/an-1)
[1/a(n+1)-1]/(1/an-1)=1/2
所以1/an-1是等比数列
1/an-1的q=1/2
1/a1-1=1/2
所以1/an-1=(1/2)^n
1/an=1+(1/2)^n
n/an=n+n/2^n
Sn=1+2+……+n+1/2^1+2/2^2+……+n/2^n
令a=1/2^1+2/2^2+……+n/2^n
则2a=1/2^0+2/2^1+……+n/2^(n-1)
相减
2a-a=a=1/2^0+1/2^1+1/2^2+1/2^(n-1)-n/2^n
=1/2^0*[1-(1/2)^n]/(1-1/2)-n/2^n
=2-2/2^n-n/2^n
=2-(n+2)/2^n
1+2+……+n=n(n+1)/2
所以Sn=(n²+n+4)/2-(n+2)/2^n
（1）注意证明数列｛（1／an）-1｝是等比数列
就是证明[1/a(n+1)-1]/(1/an-1)=q
q为常数
我们这样证1/a(n+1)=an/2an+1/2an=1/2+1/(2an)
1/a(n+1)-1=1/(2an)-1/2=1/2(1/an-1)
[1/a(n+1)-1]/(1/an-1)=1/2
所以1/an-1是等比数列
...
全部展开
（1）注意证明数列｛（1／an）-1｝是等比数列
就是证明[1/a(n+1)-1]/(1/an-1)=q
q为常数
我们这样证1/a(n+1)=an/2an+1/2an=1/2+1/(2an)
1/a(n+1)-1=1/(2an)-1/2=1/2(1/an-1)
[1/a(n+1)-1]/(1/an-1)=1/2
所以1/an-1是等比数列
（2）利用第一步的结论
有1/an-1=(1/2)^n
1/an=1+(1/2)^n
n/an=n+n/2^n
Sn=1+2+……+n+1/2^1+2/2^2+……+n/2^n
令a=1/2^1+2/2^2+……+n/2^n
则2a=1/2^0+2/2^1+……+n/2^(n-1)
相减
2a-a=a=1/2^0+1/2^1+1/2^2+1/2^(n-1)-n/2^n
=1/2^0*[1-(1/2)^n]/(1-1/2)-n/2^n
=2-2/2^n-n/2^n
=2-(n+2)/2^n
1+2+……+n=n(n+1)/2
所以Sn=(n²+n+4)/2-(n+2)/2^n
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