很难的数学题如图,三角形ABC的角A的平分线为AD,M为BC的中点,AD平行ME,求征：BE=CF=二分之一（AB+AC)
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 16:04:52
很难的数学题如图,三角形ABC的角A的平分线为AD,M为BC的中点,AD平行ME,求征：BE=CF=二分之一（AB+AC)
很难的数学题
如图,三角形ABC的角A的平分线为AD,M为BC的中点,AD平行ME,求征：BE=CF=二分之一（AB+AC)
很难的数学题如图,三角形ABC的角A的平分线为AD,M为BC的中点,AD平行ME,求征：BE=CF=二分之一（AB+AC)
题目本身不难,关键是做好辅助线,把已知的条件都调动起来.
方法（1）,函数法
∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC
∵EM‖AD ∴∠BEM=∠BAD,∠DAC=∠AFE
∴∠BEM=∠AFE,AE=AF------①
根据正弦定理,△BEM中,BE/sin∠BME=BM/sin∠BEM
△FMC中,CF/sin∠FMC=MC/sin∠MFC
∵BM=MC,sin∠MFC=sin∠AFE,并结合①
∴BE/sin∠BME=CF/sin∠FMC
∵sin∠BME=sin∠FMC
∴BE=CF
AB+AC=AB+（AF+FC）=（AB+AE）+FC=BE+FC=2BE
∴BE=CF=½（AB+AC）
方法（2）,纯几何证明.
如图,作BG⊥EM,CH⊥EM,垂足分别为G、H.
∵BM=MC -----①
AAS ∴△BGM≌△HMC, BG=HC
∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC
∵EM‖AD ∴∠BEM=∠BAD,∠DAC=∠AFE
∴∠BEG=∠AFE=∠HFC,AE=AF.
AAS ∴△BEG≌△HFC, BE=FC
AB+AC=AB+（AF+FC）=（AB+AE）+FC=BE+FC=2BE
∴BE=CF=½（AB+AC）