∏(k从1到n-1)sin(kπ/n) = n / 2^(n-1)
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/28 03:04:04
∏(k从1到n-1)sin(kπ/n) = n / 2^(n-1)
∏(k从1到n-1)sin(kπ/n) = n / 2^(n-1)
∏(k从1到n-1)sin(kπ/n) = n / 2^(n-1)
这明明是恒等式,lz怎么说是不等式?
由于xk=e^(2πki/n),k=0,1,...,n-1这n个不同的复试都满足方程n次x^n-1=0,所以它们构成方程的所有根,因此一定有分解因式
x^n-1=(x-x0)(x-x1)...(x-x(n-1))
而(x^n-1)/(x-x0)=(x^n-1)/(x-1)=x^(n-1)+x^(n-2)+...+1
所以x^(n-1)+x^(n-2)+...+1=(x-x1)...(x-x(n-1))
令x=1得n=(1-x1)...(1-x(n-1))
而1-xk=1-e^(2πki/n)=-2ie^(πki/n)sin(πk/n).所以上式相当于
n=(-2i)^(n-1)*e^(πi(1+2+...+n-1)/n)∏(k从1到n-1)sin(kπ/n)
注意到e^(πi(1+2+...+n-1)/n)=e^(πi(n-1)/2)=i^(n-1).可知欲证式成立
左边= PI(从1到n-1){In（exp(ikPi/n))}
= In{PI(exp(ikPi/n))}
= In{exp(Sigma(ikPi/n))}
In表示取虚部 exp(X) e的X次方 Sigma 求和
因为Sigma(k从1到n-1)k=n(n-1)/2
所以 左边= In{exp(i(n-1)Pi/2)}=...
全部展开
左边= PI(从1到n-1){In（exp(ikPi/n))}
= In{PI(exp(ikPi/n))}
= In{exp(Sigma(ikPi/n))}
In表示取虚部 exp(X) e的X次方 Sigma 求和
因为Sigma(k从1到n-1)k=n(n-1)/2
所以 左边= In{exp(i(n-1)Pi/2)}= sin(n-1)Pi/2
左边=0，1，-1；
因为右边大于0 ，所以左边=1,n 只能取4m+2的形式.
由1 = n/2^(n-1) 得 n = 2
收起