在△ABC中,∠B,∠C所对的边长分别是1,2,∠A=2π/3,过A作BC垂线交BC于P,并且向量AP=λAB+μAC,则λμ=?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 20:03:32
在△ABC中,∠B,∠C所对的边长分别是1,2,∠A=2π/3,过A作BC垂线交BC于P,并且向量AP=λAB+μAC,则λμ=?
在△ABC中,∠B,∠C所对的边长分别是1,2,∠A=2π/3,过A作BC垂线交BC于P,并且向量AP=λAB+μAC,则λμ=?
在△ABC中,∠B,∠C所对的边长分别是1,2,∠A=2π/3,过A作BC垂线交BC于P,并且向量AP=λAB+μAC,则λμ=?
因为 P、B、C 三点共线,因此 λ+μ=1 ,
所以 AP=λAB+(1-λ)AC ,（1）
由于 AB*AC=|AB|*|AC|*cosA=2*1*(-1/2)= -1 ,
所以,（1）式两端分别同乘以 AB、AC 得
AP*AB=4λ-(1-λ) ,AP*AC= -λ+(1-λ) ,
由于 AP*AB-AP*AC=AP*(AB-AC)=AP*CB=0 ,
因此 4λ-(1-λ)= -λ+(1-λ) ,
解得 λ=2/7 ,μ=1-λ=5/7 ,
所以 λμ=10/49 .
λμ = 10/49
详细解答如下:
以A为原点AP为y轴建坐标系。
A = (0, 0)
P = (0, -p)
C = (c, -p)
B = (-b, -p)
BC平行于x轴, 所以BC上的点y值相等.
为方便解题, b, c, p都取正数.
得3个关系式:
√(b^2 + p^2) = 2
√(c...
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λμ = 10/49
详细解答如下:
以A为原点AP为y轴建坐标系。
A = (0, 0)
P = (0, -p)
C = (c, -p)
B = (-b, -p)
BC平行于x轴, 所以BC上的点y值相等.
为方便解题, b, c, p都取正数.
得3个关系式:
√(b^2 + p^2) = 2
√(c^2 + p^2) = 1
1/2 *(c+b) * p = 1/2* 2*1*sin(2π/3)
第1/2式是距离,
第3式是面积.
整理得
b^2 + p^2 = 4
c^2 + p^2 = 1
(b + c) * p = √3
第1式 -第2式
b^2 - c^2 = 3
由第3式又得
3*p = √3(b-c)
所以
b+c = √3/p
b-c = √3*p
b = (√3/p)/2 + √3*p/2
c = (√3/p)/2 - √3*p/2
代回第1式,整理得
7p^4 -10p^2 +3 =0
p^2 = 1 或 3/7. 舍去1
过P作AB, AC的平行线 交于M, N
由向量加法知
AP = AM +AN
AM/AB = λ
AN/AC = μ
用两次相似三角形的比例关系：
AM/AB = c/(b+c)
AN/AC = b/(b+c)
λμ= bc/(b+c)^2 = 1/4 *(3/p^2 -3*p^2) / (3/p^2) = 1/4 * (1-p^4) = 10/49
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