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（1）要证OP垂直EF
只要证明OF^2-OE^2=FP^2-EP^2
延长FP到K
FP＊FK＝FB＊FA＝FD*FC
ABPK共圆,DCPK共圆
角AKF＝180度－角ABC＝180度－角ADC＝角ADF
所以AKDF共圆
FP*FK＝FA＊FB=FO^2-r^2
FP＊PK＝PA＊PD＝r^2－OP^2
相减
PF^2＝FO^2+OP^2-2r^2
同理
PE^2=EO^2+OP^2-2r^2
所以
OF^2-OE^2=FP^2-EP^2
所以OP（OQ）垂直EF
介绍一下Q点的几何意义
在EF上取点J
角EJD＝角ACD＝角FBD
所以BDJF共圆
ECDJ共圆
FJ*FE=FD*FC=FO^2-r^2
EJ*EF=ED*EB=EO^2-r^2
相减FO^2-EO^2=(FJ-EJ)(FJ+EJ)＝FJ^2-EJ^2
所以J就是Q
（2）
从E做圆O的两条切线EY,EZ
下证P属于YZ
OM垂直AC
EO垂直XY于W
XY交AC＝T
EA*EC=EX^2=EW*EO=ET＊EM＝ET＊(EA+EC)/2
所以EA*EC＝ET＊(EA+EC)/2
所以AT／TC＝AE/EC
同理,设XY交BD＝S
BS／SD＝BE／ED
连接PF,下证PF与XY重合
设PF交AC＝T‘
设PF交BD＝S‘
对三角形ACF和P用塞瓦定理
对三角形ACF和直线BDE用梅涅劳斯定理
AT’／T‘C＝AE/EC
所以T＝T’
同理S＝S’
所以PF与XY重合
定义极线
设圆O及平面上一点V
OV＊OU＝r^2
过U点且垂直OV的直线F(V)定义为点V对圆O的极线
有如下定理（用4点共圆容易证明）
U属于F(V)
则V属于F(U)
P在F(E)上
P在F(F)上
所以EF是F(P)
所以得证
给你一个射影几何的证明吧!
ACEDBF是完全四边形
EPF两两关于圆（二次曲线）调和共轭
E点关于圆的极线过P
F点关于圆的极线过P
所以P关于圆的极线为EF
所以两问全得证