证明x^2-5x+1=0至少有一个小于1的正根

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 22:25:40
证明x^2-5x+1=0至少有一个小于1的正根证明x^2-5x+1=0至少有一个小于1的正根证明x^2-5x+1=0至少有一个小于1的正根这么容易的题=_=||设y=x^2-5x+1当x=0时,y=1

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证明x^2-5x+1=0至少有一个小于1的正根
这么容易的题=_= ||
设y=x^2-5x+1
当x=0时,y=1>0
当x=1时,y=-3<0
一正一负,那么在x=（0,1）之间,y的图像必然穿过X轴,x^2-5x+1=0的根就在（0,1）之间

函数y= x^2-5x+1在为二次函数，故连续，且y（0）=1>0,y(1)=-3<0,故抛物线y= x^2-5x+1在（0,1）之间至少与x轴有一个交点，即x^2-5x+1=0至少有一个小于1的正根。

由韦达定理可知该方程的两根之积为1，两根之和为5，且根的判定式大于0，因此该方程的两个根都为正根，由于两根之积为1，因此只能是一根小于1另一根大于1或两根都等于1，显然后者并不符合，则只能是一根小于1另一根大于1，所以至少有一个小于1的正根。...

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由韦达定理可知该方程的两根之积为1，两根之和为5，且根的判定式大于0，因此该方程的两个根都为正根，由于两根之积为1，因此只能是一根小于1另一根大于1或两根都等于1，显然后者并不符合，则只能是一根小于1另一根大于1，所以至少有一个小于1的正根。

收起

建立二次函数y= x^2-5x+1，为开口向上的抛物线，
有当x=0时，y（0）=1>0，
当x=1时，y(1)=-3<0
故抛物线y= x^2-5x+1在（0,1）之间至少与x轴有一个交点，
即x^2-5x+1=0至少有一个小于1的正根。

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