求证重心到三顶点的向量和为零注意不要用坐标法证明
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 19:01:14
求证重心到三顶点的向量和为零注意不要用坐标法证明
求证重心到三顶点的向量和为零
注意不要用坐标法证明
求证重心到三顶点的向量和为零注意不要用坐标法证明
让我来.
设 AM 是三角形 ABC 的中线 ,G 在 AM 上,且 AG=2GM ,
则 M 为 BC 的中点,G 为三角形 ABC 的重心 ,
因此 GA+GB+GC=GA+2GM=GA+AG=0 .
上面的证明用到两个结论：一是重心到顶点的距离等于到对边中点距离的 2 倍,二是中点的向量表达式：M 为 BC 的中点,则 GM=1/2*(GB+GC) .
设,三顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)
则重心O[(x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3]
向量OA=[x1-(x1+x2+x3)/3,y1-(y1+y2+y3)/3]
向量OB=[x2-(x1+x2+x3)/3,y2-(y1+y2+y3)/3]
向量OC=[x3-(x1+x2+x3)/3,y3-(y1+y2+y3)/3]...
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设,三顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)
则重心O[(x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3]
向量OA=[x1-(x1+x2+x3)/3,y1-(y1+y2+y3)/3]
向量OB=[x2-(x1+x2+x3)/3,y2-(y1+y2+y3)/3]
向量OC=[x3-(x1+x2+x3)/3,y3-(y1+y2+y3)/3]
则,向量OA+向量OB+向量OC
=[x1-(x1+x2+x3)/3,y1-(y1+y2+y3)/3]
+[x2-(x1+x2+x3)/3,y2-(y1+y2+y3)/3]+[x3-(x1+x2+x3)/3,y3-(y1+y2+y3)/3]
=0向量
收起
设三角形为ABC，重心O
以向量OA,OB为邻边做平行四边形OAEB，则OE＝OA+OB(平行四边形法则）
设OE交AB于F，则F是AB中点（平行四边形对角线互相平分）
则OFC共线（重心和顶点连续平分对边）
延长AO，交BC于G，连接FG
显然F是AB中点，G是BC中点，所以FG//AC
|FO|/|OC| = |FG|/|BC| = ...
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设三角形为ABC，重心O
以向量OA,OB为邻边做平行四边形OAEB，则OE＝OA+OB(平行四边形法则）
设OE交AB于F，则F是AB中点（平行四边形对角线互相平分）
则OFC共线（重心和顶点连续平分对边）
延长AO，交BC于G，连接FG
显然F是AB中点，G是BC中点，所以FG//AC
|FO|/|OC| = |FG|/|BC| = 1/2
所以|OF| = 0.5 |OC|
所以|OE| = 2|OF| = |OC|
所以向量OE和OC大小相等，方向相反，所以0=OE+OC=OA+OB+OC
收起
根据勾股定理，AB^2+BD^2=AD^2,
AD^2=AE^2+DE^2,
BD=CD,
AB^2+CD^2=AE^2+DE^2,
DE^2=CD^2-CE^2,
AB^2+CD^2=AE^2+CD^2-CE^2,
∴AB^2+CE^2=AE^2.
先证向量OG=1/3 （向量OA+向量OB+向量OC）
再证向量GA+向量GB+向量GC=零向量
【【不清楚，再问；满意， 请采纳！祝你好运开☆！！】】