解斜三角形的数学题在△ABC中,AB=AC,D是BC边中点,DE⊥AC,E是垂足,F是DE的中点,求证：AF⊥BE.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 16:38:54
解斜三角形的数学题在△ABC中,AB=AC,D是BC边中点,DE⊥AC,E是垂足,F是DE的中点,求证：AF⊥BE.
解斜三角形的数学题
在△ABC中,AB=AC,D是BC边中点,DE⊥AC,E是垂足,F是DE的中点,求证：AF⊥BE.
解斜三角形的数学题在△ABC中,AB=AC,D是BC边中点,DE⊥AC,E是垂足,F是DE的中点,求证：AF⊥BE.
楼上的证法很巧妙
但是不太简洁
下面是我的证法
只用两次相似且不需辅助线
证明：
∵∠ADB=∠AED=90
且易知∠DAB=∠EAD
∴△DAB∽△EAD (第一次用相似)
故AD/BD=DE/CE
即AD*CE=BD*DE
即AD*CE=BD*2DF=2BD*DF=BC*DF
而∠ADE=∠ACD
又AD/DF=BC/CE
∴△DAF∽△CBE (第二次用相似)
故∠DAF=∠CBE
设AF与BE交于G
故∠BDA=∠BGA=90
∴AF⊥BE
证毕!
证明：连接AD，过F做FG//EB交BD于G,连接AG，
F为DE的中点，FG//EB，故G也应为BD的中点,
三角形ABC中，AB=AC，D为BC的中点，连接AD，
AD垂直于BC，DE垂直于AC，所以△ADE∽△ABD,
由△ADE∽△ABD可得AE/AD=AD/AB=DE/BD,(1)
在△ADE中，F为DE的中点，在△ABD中，G为BD的中点,
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证明：连接AD，过F做FG//EB交BD于G,连接AG，
F为DE的中点，FG//EB，故G也应为BD的中点,
三角形ABC中，AB=AC，D为BC的中点，连接AD，
AD垂直于BC，DE垂直于AC，所以△ADE∽△ABD,
由△ADE∽△ABD可得AE/AD=AD/AB=DE/BD,(1)
在△ADE中，F为DE的中点，在△ABD中，G为BD的中点,
从而可知△AFE∽△AGD,△ADF∽△ABG,进而又可知∠GAF=∠BAD，
由△AFE∽△AGD可得AE/AD=AF/AG=EF/DG,(2)
由△ADF∽△ABG可得AF/AG=AD/AB=DF/BG,(3)
综合(1)(2)(3)可得AF/AG=AD/AB,而∠GAF=∠BAD，（前面已证）
所以△AFG∽△ADB,∠AFG=∠ADB=90°，AF垂直于FG,
又因为FG//EB,所以AF垂直于EB,即AF垂直于BE得证。△
希望楼主能满意并采纳！！！！！！！！！！！！！！！！！
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