∫1/（1+√x+√（x+1））dx详细解答步骤,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 16:19:45
∫1/（1+√x+√（x+1））dx详细解答步骤,
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∫1/（1+√x+√（x+1））dx详细解答步骤,
分母有理化得：1/（1+√x+√（x+1))=(1/2)(1+√x-√(x+1))/√x
所以：
积分=(1/2)∫[1+√x-√(x+1))/√x]dx
=(1/2)(x+2√x)-(1/2)∫[√(x+1))/√x]dx
设√(x+1)/√x=t, (x+1)=xt^2, x=1/(t^2-1) dx=-2tdt/(t^2-1)^2
∫[√(x+1))/√x]dx=∫-2t^2dt/(t^2-1)^2
=(-1/2)(-2t/(t^2-1)+ln|(t-1)/(t+1)|+C
积分=(1/2)(x+2√x)+(1/4)(-2(√(x+1)/√x)/((x+1)/x-1)+ln|(√(x+1)/√x-1)/(√(x+1)/√x+1)|+C
=(1/2)[(x+2√x)+-√(x+1)√x+ln|(√(x+1)/√x-1)/(√(x+1)/√x+1)|+C
∫｛1/［1＋√x＋√（x＋1）］｝dx
＝∫｛［1＋√x－√（x＋1）］/［（1＋√x）^2－（x＋1）］｝dx
＝∫｛［1＋√x－√（x＋1）］/（1＋x＋2√x－x－1）｝dx
＝（1/2）∫｛［1＋√x－√（x＋1）］/√x｝dx
＝（1/2）∫（1/√x）dx＋（1/2）∫dx－（1/2）∫［√（x－1）/√x］dx
＝√x＋（1/2）x－∫√（x...
全部展开
∫｛1/［1＋√x＋√（x＋1）］｝dx
＝∫｛［1＋√x－√（x＋1）］/［（1＋√x）^2－（x＋1）］｝dx
＝∫｛［1＋√x－√（x＋1）］/（1＋x＋2√x－x－1）｝dx
＝（1/2）∫｛［1＋√x－√（x＋1）］/√x｝dx
＝（1/2）∫（1/√x）dx＋（1/2）∫dx－（1/2）∫［√（x－1）/√x］dx
＝√x＋（1/2）x－∫√（x－1）d（√x）
令√x＝1/cosu，则：sinu＝√（1－1/√x），d（√x）＝［sinu/（cosu）^2］du。
∴∫｛1/［1＋√x＋√（x＋1）］｝dx
＝√x＋（1/2）x－∫√［1/（cosu）^2－1］［sinu/（cosu）^2］du
＝√x＋（1/2）x－∫（cosu/sinu）［sinu/（cosu）^2］du
＝√x＋（1/2）x－∫［1/（cosu）^2］d（sinu）
＝√x＋（1/2）x－（1/2）∫｛（1－sinu＋1＋sinu）/［1－（sinu）^2］｝d（sinu）
＝√x＋（1/2）x－（1/2）∫［1/（1＋sinu）］d（sinu）－（1/2）∫［1/（1－sinu）］d（sinu）
＝√x＋（1/2）x－（1/2）ln（1＋sinu）＋（1/2）ln（1－sinu）＋C
＝√x＋（1/2）x＋（1/2）ln［1－√（1－1/√x）］－（1/2）ln［1＋√（1－1/√x）］＋C
收起
1/（1+√x+√(x+1））=(1+√x-√(x+1))/(( 1+√x)^2-(x+1)) =(1+√x-√(x+1))/ 2√x
=1/ 2√x +1/2-√(x+1)/ 2√x
原式=1/2∫1/√x*dx+1/2∫dx-1/2∫√(x+1)/√x*dx
=√x +1/2*x-1/4* (2*x^2+2*x+√(x^2+x))*ln(1/2+x+√(x^2+x))/ √(x(x+1))+常数