正数x,y满足xy+x+y=8,那么x+y的最小值等于?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 06:07:35
正数x,y满足xy+x+y=8,那么x+y的最小值等于?
正数x,y满足xy+x+y=8,那么x+y的最小值等于?
正数x,y满足xy+x+y=8,那么x+y的最小值等于?
xy+(x+y)=8,那么xy=8-(x+y)
由基本不等式得：xy≤[(x+y)/2]²
所以8-(x+y)≤[(x+y)/2)]²
即：(x+y)²+4(x+y)-32≥0
[(x+y)-4][(x+y)+8]≥0
而x>0,y>0,即x+y>0
所以x+y+8>0,所以x+y-4≥0
所以x+y≥4,那么x+y的最小值为4
额,还有一种方法
答：
正数x和y满足：
xy+x+y=8
因为：x^2+y^2>=2xy
所以：(x+y)^2>=4xy
所以：(x+y)^2>=4*[8-(x+y)]=32-4(x+y)
所以：
(x+y)^2+4(x+y)-32>=0
(x+y+8)(x+y-4)>=0
因为：x+y+8>0
所以：x+y-4>=0
解得：...
全部展开
答：
正数x和y满足：
xy+x+y=8
因为：x^2+y^2>=2xy
所以：(x+y)^2>=4xy
所以：(x+y)^2>=4*[8-(x+y)]=32-4(x+y)
所以：
(x+y)^2+4(x+y)-32>=0
(x+y+8)(x+y-4)>=0
因为：x+y+8>0
所以：x+y-4>=0
解得：x+y>=4
所以：x+y的最小值为4
或者：
xy+x+y=8
(x+1)(y+1)=9
所以：
4(x+1)(y+1)=36<=(x+1+y+1)^2
所以：x+y+2>=6
解得：x+y>=4
所以：x+y最小值为4
收起
xy+x+y+1=(x+1)(y+1)=9
9=(x+1)(y+1)<=(x+1+y+1)²/4=(x+y+2)²/4
从而x+y取最小值4
p.s. 基本不等式：a+b>=2√ab，当且仅当a=b时等号成立
即(a+b)²>=4ab，ab<=(a+b)²/4
x+y＞=2根号xy
（x+y）^2＞=4xy
（x+y）^2+4（x+y）＞=32
（x+y-4）（x+y+8）＞=0
x+y＞=4或＜=-8，因x，y正数，所以x+y＞=4，
所以x+y最小值4