从双曲线x^2-y^2=1上一点引直线x+y=2的垂线,垂足为N,求线段QN的中点P的轨迹方程.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 15:40:03
从双曲线x^2-y^2=1上一点引直线x+y=2的垂线,垂足为N,求线段QN的中点P的轨迹方程.
从双曲线x^2-y^2=1上一点引直线x+y=2的垂线,垂足为N,求线段QN的中点P的轨迹方程.
从双曲线x^2-y^2=1上一点引直线x+y=2的垂线,垂足为N,求线段QN的中点P的轨迹方程.
设Q (m,n)
x+y=2垂线斜率是1
所以是x-y=p
过Q
所以x-y=m-n
x+y=2
x=(m-n+2)/2
y=(2-m+n)/2
所以N[(m-n+2)/2,(2-m+n)/2]
P(x,y)
则2x=m+(m-n+2)/2=(3m-n+2)/2
2y=n+(2-m+n)/2=(2-m+3n)/2
n=3y/2+x/2-1
m=y/2+3x/2-1
m²-n²=1
所以(y/2+3x/2-1)²-(3y/2+x/2-1)²=1
(2y+2x-2)(x-y)=1
2x²-2y²-2x+2y-1=0
设P（x，y），Q（x1，y1），则N（2x-x1，2y-y1），
∵N在直线x+y=2上，
∴2x-x1+2y-y1=2①
又∵PQ垂直于直线x+y=2，∴y-y1x-x1=1，
即x-y+y1-x1=0．②
由①②得x1=
32x+
12y-1y1=
12x+
32y-1，
又∵Q在双曲线x2-y2=...
全部展开
设P（x，y），Q（x1，y1），则N（2x-x1，2y-y1），
∵N在直线x+y=2上，
∴2x-x1+2y-y1=2①
又∵PQ垂直于直线x+y=2，∴y-y1x-x1=1，
即x-y+y1-x1=0．②
由①②得x1=
32x+
12y-1y1=
12x+
32y-1，
又∵Q在双曲线x2-y2=1上，
∴x12-y12=1．
∴（32x+12y-1）2-（12x+32y-1）2=1．
整理，得2x2-2y2-2x+2y-1=0即为中点P的轨迹方程．
故答案为：2x2-2y2-2x+2y-1=0．
收起
m>0,n>0
所以3=2m+n≥2√(2mn)
2√(2mn)≤3
平方
8mn≤9
mn≤9/8
所以最大值=9/8
x-√3y+1=0
√3x-y-√3=0
交点A(2,√3)
所以AO=√(4+3)=√7>1
所以O到过A直线距离最大是√7
所以应该有两条
他们关于直线AO对称
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m>0,n>0
所以3=2m+n≥2√(2mn)
2√(2mn)≤3
平方
8mn≤9
mn≤9/8
所以最大值=9/8
x-√3y+1=0
√3x-y-√3=0
交点A(2,√3)
所以AO=√(4+3)=√7>1
所以O到过A直线距离最大是√7
所以应该有两条
他们关于直线AO对称
y-√3=k(x-2)
kx-y+√3-2k=0
d=|0-0+√3-2k|/√(k²+1)=1
|2k-√3|=√k²+1
平方
4k²-4√3k+3=k²+1
3k²-4√3k+2=0
判别式大于0，所以有两个k
所以有两条
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