∫√(1+cscx)dx求不定积分
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 15:58:08
∫√(1+cscx)dx求不定积分
∫√(1+cscx)dx求不定积分
∫√(1+cscx)dx求不定积分
万能公式:
√(1+1/sinx)
=√{1+[1+tan^2(x/2)]/(2tanx/2)}
=[1+tan(x/2)]/√(2tanx/2)
再换元
t=√(tanx/2),x=2arctan(t^2)
dx=d[2arctan(t^2)]=4t/(1+t^4)dt
∫√(1+cscx)dx=[1+t^2]/(√2t)*4t/(1+t^4)dt
=∫2√2*(1+t^2)/(1+t^4)dt
以下用奥斯特洛……方法积分有理函数（分部分式）
令y=1+cscx => dy=-cscxcotx dx
cscx=y-1，sinx=1/(y-1)，cosx=√[1-1/(y-1)²]=√y√(y-2)/(y-1)
tanx=1/[√y√(y-2)]，cotx=√y√(y-2)
∫√(1+cscx) dx
= -∫√y * 1/(cscxcotx) dy
= -∫√y * 1/[(y-1)*√...
全部展开
令y=1+cscx => dy=-cscxcotx dx
cscx=y-1，sinx=1/(y-1)，cosx=√[1-1/(y-1)²]=√y√(y-2)/(y-1)
tanx=1/[√y√(y-2)]，cotx=√y√(y-2)
∫√(1+cscx) dx
= -∫√y * 1/(cscxcotx) dy
= -∫√y * 1/[(y-1)*√y√(y-2)] dy
= -∫1/[(y-1)√(y-2)] dy
令z²=y-2 => 2zdz=dy
= -∫1/[(z²+2-1)√(z²+2-2)] * 2zdz
= -∫1/[(z²+1)*z] * 2zdz
= -2∫1/(z²+1) dz
= -2arctan(z) + C
= -2arctan√(y-2) + C
= -2arctan√(1+cscx-2) + C
= -2arctan√(cscx-1) + C
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