证明:a^2+b^2≥(a+b)^2/2≥2ab

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 04:48:48
证明:a^2+b^2≥(a+b)^2/2≥2ab证明:a^2+b^2≥(a+b)^2/2≥2ab证明:a^2+b^2≥(a+b)^2/2≥2ab(a+b)^2/2-2ab=(a²+2ab+b

证明:a^2+b^2≥(a+b)^2/2≥2ab
证明:a^2+b^2≥(a+b)^2/2≥2ab

证明:a^2+b^2≥(a+b)^2/2≥2ab
(a+b)^2/2-2ab
=(a²+2ab+b²)/2-2ab
=(a²-2ab+b²)/2
=(a-b)²/2
≥0
所以(a+b)²/2≥2ab
a^2+b^2-(a+b)^2/2
=a²+b²-(a²+2ab+b²)/2
=(a²-2ab+b²)/2
=(a-b)²/2
≥0
所以a^2+b^2≥(a+b)^2/2
所以a^2+b^2≥(a+b)^2/2≥2ab

∵(a-b)^2≥0
∴a^2+b^2-2ab≥0
∴a^2+b^2≥2ab
两边同时加a^2+b^2:
2a^2+2b^2≥2ab+a^2+b^2
2(a^2+b^2)≥(a+b)^2
两边同除以2:
a^2+b^2≥(a+b)^2/2
(a+b)^2=(a-b)^2+4ab≥4ab
两边同除以2:
(a+b)^2/2≥2ab
综上:a^2+b^2≥(a+b)^2/2≥2ab