如何判断矩阵是否能够进行LU分解
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 11:33:26
如何判断矩阵是否能够进行LU分解
如何判断矩阵是否能够进行LU分解
如何判断矩阵是否能够进行LU分解
定理:A可以进行LU分解的充要条件是A顺序主子式全不为0.
这个定理的证明涉及到高斯消去法.
我们知道高斯消去的三种消去
1对换:对换矩阵的两行2倍乘,将某行乘以常数3倍加:将矩阵某行乘以常数加到另一行.
对应三种初等矩阵.其中第二三个是下三角矩阵而第一个不是.
如果矩阵A可以经过不用对换的高斯变换化成既约矩阵(他是一个上三角矩阵),那么就能进行LU分解.什么情况高斯消去不用对换矩阵的两行呢?
打个比方A经过第一次高斯消去后使得除了a11外第一列其他元素都是0了,然后进行第二列的消去此时要满足新的a22不为零才能进行下去.否则就要将第二行和其他行对换.(此处看线性代数书上的Ax=b的解法那里)
因此没有对换的关键是"消去第i列"时的aii不为0.我们的定理要证明的就是"消去第i列时的aii不为零"这个条件与"A的顺序主子式不为零"等价
证明,用数学归纳法对矩阵的阶n进行归纳
当矩阵A的各阶顺序主子式都不为0时，LU分解唯一；
当矩阵A的的顺序主子式为0，但经过顺序高斯消去法矩阵可划为上三角（对角线上的元素可为0），可进行LU分解，但分解不唯一；（如[1 1 1 ；2 2 1；3 3 1]经高斯消去变为[1 1 1；0 0 -1；0 0 -2]）
当矩阵A的顺序主子式为0，经过顺序高斯消去法不可以划为上三角则不可进行LU分解；（如[1 2 3；2；2 ...
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当矩阵A的各阶顺序主子式都不为0时，LU分解唯一；
当矩阵A的的顺序主子式为0，但经过顺序高斯消去法矩阵可划为上三角（对角线上的元素可为0），可进行LU分解，但分解不唯一；（如[1 1 1 ；2 2 1；3 3 1]经高斯消去变为[1 1 1；0 0 -1；0 0 -2]）
当矩阵A的顺序主子式为0，经过顺序高斯消去法不可以划为上三角则不可进行LU分解；（如[1 2 3；2；2 4 1；4 6 7]，高斯消去后变为[1 2 3；0 0 -5；0 -2 -5]）
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