求证：三角形ABC是等边三角形的充要条件是a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca(a,b,c为三角形ABC的三边请具体从充分与必要条件证明

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/27 12:53:47

求证：三角形ABC是等边三角形的充要条件是a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca(a,b,c为三角形ABC的三边请具体从充分与必要条件证明求证：三角形ABC是等边三角形的充要条件是a^2+b^2+c

求证：三角形ABC是等边三角形的充要条件是a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca(a,b,c为三角形ABC的三边请具体从充分与必要条件证明
求证：三角形ABC是等边三角形的充要条件是
a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca(a,b,c为三角形ABC的三边
请具体从充分与必要条件证明

求证：三角形ABC是等边三角形的充要条件是a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca(a,b,c为三角形ABC的三边请具体从充分与必要条件证明
如果等边,那么等式显然成立.
如果等式成立,那么
(a - b)² + (b - c)² + (a - c)²
= a² - 2ab + b² + b² - 2bc + c² + a² - 2ac + c²
= 2(a² + b² + c²) - 2(ab + bc + ac)
根据条件,a² + b² + c² = ab + bc + ac
所以(a - b)² + (b - c)² + (a - c)² = 0
非负数的平方和为0,所以各项为0,于是a = b = c,等边.

a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0
2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0
(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
所以(a-b)^2=(b-c)^2=(c-a)^2=0
所以a-b=b-c=c-a=0
所以a=b=c
所以三角形是等边三角形
这是充分条件
必要条件就不用证明了吧？