在ABC中,AE垂直BC于E,AD是BC中线,求证：AB^2-AC^2=2BC乘DE求了 给100分啊
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 04:50:10
在ABC中,AE垂直BC于E,AD是BC中线,求证：AB^2-AC^2=2BC乘DE求了 给100分啊
在ABC中,AE垂直BC于E,AD是BC中线,求证：AB^2-AC^2=2BC乘DE
求了 给100分啊
在ABC中,AE垂直BC于E,AD是BC中线,求证：AB^2-AC^2=2BC乘DE求了 给100分啊
证明：∵AE⊥BC
∴在直角⊿ABE和直角⊿ACE中,
AB^2==BE^2+AE^2
AC^2==CE^2+AE^2
∴AB^2-AC^2==（BE^2+AE^2）-（CE^2+AE^2）
==BE^2-CE^2==（BE+CE）*（BE-CE）
==BC*（BE-CE）
又∵D为BC中点,
∴BD==CD
而BE==BD+DE,CE==CD-DE
∴BE-CE==（BD+DE）-（CD-DE）==2DE
∴AB^2-AC^2==BC*（BE-CE）==BC*2DE==2BC*DE
不妨设E在DB之间
AB^2=AE^2+EB^2
AC^2=AE^2+EC^2
2BC*DE=(EB+EC)(EB-EC)
少个条件：AB>AC
AB^2-AC^2
=BE^2+AE^2-CE^2-AE^2
=BE^2-CE^2
=(BE+CE)(BE-CE)
=BC*(BD+DE-(CD-DE))
=BC*(2DE)
=2BC*DE
AB²=AE²+BE²
AC²=AE²+CE²
AB²-AC²
=AE²+BE²-AE²-CE²
=BE²-CE²
=（BE+CE）（BE-CE）
=BC（BD+ED-CD+DE）
=BC（2DE）=2BC×DE
证明：∵AE⊥BC
∴AB²=AE²+BE²
AC²=AE²+CE²
∴AB²-AC²
=AE²+BE²-AE²-CE²
=BE²-CE²
=（BE+CE）（BE-CE）
=BC（BD+ED-CD+DE）
=BC*2DE
=2BC*DE
1)AB²-AC²
=(BE²+AE²)-(CE²+AE²)
=BE²-CE²
=(BE+CE)(BE-CE)
=BC[(BD+DE)-(CD-DE)]
=2BC*DE
在三角形ABE中：
BE^2=AB^2-AE^2
BE=BC/2+DE
(BC/2+DE)^2=AB^2-AE^2
BC^2/4+BC*DE+DE^2=AB^2-AE^2 (1)
在三角形AEC中：
CE^2=AC^2-AE^2
CE=BC/2-DE
(BC/2-DE)^2=AC^2-AE^2
BC^2/4-BC*DE+DE^2=AC^2-AE^2 (2)
(1)-(2)得：
2BC*DE=AB^2-AC^2
本题目看似简单,其实里面有个陷阱,
解答:
∵AE⊥BC于E
∴在Rt△ABE中,有AB^2＝AE^2＋BE^2,
在Rt△ACE中,有AC^2＝AE^2＋CE^2,
故AB^2－AC^2＝BE^2－CE^2＝（BE＋CE）（BE－CE）=BC（BE－CE）,
∵AD是BC中线，
∴BD＝CD＝1/2BC。
此时分两种情况:
...
全部展开
本题目看似简单,其实里面有个陷阱,
解答:
∵AE⊥BC于E
∴在Rt△ABE中,有AB^2＝AE^2＋BE^2,
在Rt△ACE中,有AC^2＝AE^2＋CE^2,
故AB^2－AC^2＝BE^2－CE^2＝（BE＋CE）（BE－CE）=BC（BE－CE）,
∵AD是BC中线，
∴BD＝CD＝1/2BC。
此时分两种情况:
1,当E在BD中间时,有
BE－CE＝（BD－DE）－（CD＋DE）＝-2DE，
∴AB^2－AC^2＝-2BE×DE，
命题不成立；
1,当E在CD中间时,有
BE－CE＝（BD＋DE）－（CD－DE）＝2DE，
∴AB^2－AC^2＝2BE×DE，
命题成立。
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