方程cosx-2/π=0在(0,π／2)上的根为m,函数f(x）=sinx-2x/π求证：(1)当0
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 08:35:32
方程cosx-2/π=0在(0,π／2)上的根为m,函数f(x）=sinx-2x/π求证：(1)当0
方程cosx-2/π=0在(0,π／2)上的根为m,函数f(x）=sinx-2x/π
求证：(1)当0
方程cosx-2/π=0在(0,π／2)上的根为m,函数f(x）=sinx-2x/π求证：(1)当0
(1) 对f(x)求导得f'(x)=cos x-2/π,由于f'(0)>0,f'(π/2)
1. f'(x)= cosx -2/π =0
x=m,易知为极大值点
f(0)=0,f(π/2)=0
∴f(x)>0
sinx > 2x/π
如图所示，f(x)=sinx-2x/π，f'(x)=cosx-2/π (1)当0<x<π/2时，f'(x)单调递减。因为f'(x)=0有根x=m，且f‘(0)=1-2/π>0，f’(π/2)=-2/π<0，所以f(x)在x=m取到极大值。 f(0)=f(π/2)=0，故f(x)=sinx-2x/π在0<x<π/2时恒成立f(x)>0，即sinx>2x/π (2)f'(x)=cosx-2/π是一个周期函数，周期是2π。当f(x)取得极值时，cosx=2/π。 当x∈(0,π/2)时在x=m取到极大值，因为f(x)在(-π/2,π/2)上是奇函数，所以在x=-m时取得极小值。 再由周期性，当x=2π-m时也取得极小值。 f(m)=sinm-2m/π，f(-m)=2m/π-sinm，f(2π-m)=sin(2π-m)-2(2π-m)/π=2m/π-sinm-4 综合上述，函数在[-π,2π]上的极大值为sinm-2m/π；极小值有2m/π-sinm、2m/π-sinm-4。 (3)令g(x)=f(x)-a=sinx-2x/π-a x∈[-3π,π] g'(x)=f'(x)=cosx-2/π，故g(x)的周期性、单调性、奇偶性和f(x)完全一样。 因为每个周期，函数都是先取极小值，再取极大值，所以当g(x)=0取得3个实根时，必然a处于极小值和极大值之间。 那么易得当x∈[-π,π]时，a的取值范围是(2m/π-sinm，sinm-2m/π)。 根据(2)问可知，每个周期对应点纵坐标只差为4！！！！ 所以，当x∈[-3π,-π]时，a的取值范围是(2m/π-sinm+4，sinm-2m/π+4)。 综合上述，a的取值范围是(2m/π-sinm，sinm-2m/π)∪(2m/π-sinm+4，sinm-2m/π+4)。