求证:ln2/2+……lnn/n<n^2/2(2n+1)打错了,是ln2/2+……+lnn/n<n^2/2(n+1)

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 17:14:07
求证:ln2/2+……lnn/n<n^2/2(2n+1)打错了,是ln2/2+……+lnn/n<n^2/2(n+1)求证:ln2/2+……lnn/n<n^2/2(2n+1)打错了,是ln2/2+……+

求证:ln2/2+……lnn/n<n^2/2(2n+1)打错了,是ln2/2+……+lnn/n<n^2/2(n+1)
求证:ln2/2+……lnn/n<n^2/2(2n+1)
打错了,是ln2/2+……+lnn/n<n^2/2(n+1)

求证:ln2/2+……lnn/n<n^2/2(2n+1)打错了,是ln2/2+……+lnn/n<n^2/2(n+1)
下面给出两种思路,但没有完整计算:
方法一:
n=2 时,直接验证.
当n>2 时,用归纳法,只需验证:
n^2/2(n+1) - (n-1)^2/2n > lnn /n ---》 0
右边 = (n^3 - (n-1)^2(n+1)) / (2n(n+1)) =(n^2-n+1)/(2n(n+1)) ---》 1/2
所以当n充分大时,归纳法成立.
当n小时,可以具体计算.
方法二:
设f(x)=lnx / x.
当 x> e 时
f'(x) = 1/x^2 - lnx /x^2 = (1 - lnx) / x^2 < 0. 函数递减.
所以:
ln3/3 + ...+ lnn /n < 积分 (从2 到 n) lnx /x dx = (lnn /2)^2 - (ln2 /2)^2
所以 ln2/2+……lnn/n < (lnn /2)^2 + ln2/2 - (ln2 /2)^2
当 n 大时,显然 结论成立,当n 比较小时,得具体计算.