一阶线性微分方程怎么求通解 找不到思路 想直接用公式又配不好

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 23:07:46
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最上面两个式子直接设y=Q(x)·exp(-sinx)和y=Q(x)·exp(cosx),其中Q(x)为待定函数,代入后就可以消去e的指数函数项按照一般的一阶微分方程求解了.——这是解带指数函数一阶方程常用的办法.
第二行左侧的式子同样可以设y=exp[Q(x)],那么dy=Q`(x)·exp[Q(x)]dx,这样原式可以变成：Q+(x-Q)Q`=0,同上理可解.
第二行右侧的式子用代换y=x³Q(x),那么dy/dx=3x²Q+x³Q`,代入原式变成：3x²Q+x³Q`+(2-3x²)Q=1,剩下的式子很简单就留给lz自己算了.
最后一行式子整理成分式形式：dy/dx=2y/(6x-y²),两侧取倒数得到：dx/dy=3(x/y)-(y/2),注意观察右侧含有x/y,利用齐次方程的解法令x=uy（注意自变量和函数）,那么整理得到：u`-2(u/y)=-1/2；显然再利用齐次方程的解法,令u=vy,得到：v`y-v=-1/2,再分离变量得到：dv/(v-0.5)=dy/y,解得：ln(v-0.5)=y+C,最后把x回代得到：ln[(x/y²)-0.5]=y+C,两边取指数函数得到标准形式：x/y²-(1/2)=Dexp(y),D=expC为任意常数.

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