用数学归纳法证明:(41^n)-1可被20整除
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 12:37:38
用数学归纳法证明:(41^n)-1可被20整除
用数学归纳法证明:(41^n)-1可被20整除
用数学归纳法证明:(41^n)-1可被20整除
证明:(1)当n=1时,(41^n)-1=40,显然能被20整除,故当n=1时命题成立
(2)假设当n=k(k∈N*)时命题成立,即(41^k)-1能被20整除
则41^(k+1)-1=41^k*41-1=41^k*41-41+40=41[(41^k)-1]+40,显然41[(41^k)-1]能被40整除(由假设可知),而40又能被20整除,故41^(k+1)-1能被20整除,即当n=k+1时命题也成立
综合(1)(2)可得,当n∈N*时命题成立
数学归纳法很死板,书写要求很严格.第一步就是把符合条件的第一个值代入公式验证.然后假设n=k时成立,求证n=k+1时也成立,关键就是要把n=k+1时公式的形式凑成n=k时公式的形式,一定要用到假设!
n=1时，4a^1-1=40可被20整除，命题成立。
假设n=k 时命题成立，即 （41^k）-1 可被20整除，则 n=k+1 时，
因为 (41^(k+1))-1
=41^(k+1)-41^k+41^k-1
=41^k*(41-1)+41^k-1
=41^k*40+41^k-1
由归纳假设，41^k-1 可被20整除，又41^k*40显然能被20...
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n=1时，4a^1-1=40可被20整除，命题成立。
假设n=k 时命题成立，即 （41^k）-1 可被20整除，则 n=k+1 时，
因为 (41^(k+1))-1
=41^(k+1)-41^k+41^k-1
=41^k*(41-1)+41^k-1
=41^k*40+41^k-1
由归纳假设，41^k-1 可被20整除，又41^k*40显然能被20整除，所以
(41^(k+1))-1=41^k*40+41^k-1 能被20整除，因此命题对 n=k+1 也成立。
所以由数学归纳法原理即知对任意正整数k，(41^n)-1可被20整除。
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41=40+1
i)n=1,(41^n)-1=40,可被20整除
ii)假设n=k时, (41^k)-1可被20整除
n=k+1时,
[41^(k+1)}-1
=41*(41^k)-1
=40*(41^k)+[(41^k)-1]
40*(41^k)可被20整除,[(41^k)-1]可被20整除{40*(41^k)+[(41^k)-1]}可被20整除
综上...
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i)n=1,(41^n)-1=40,可被20整除
ii)假设n=k时, (41^k)-1可被20整除
n=k+1时,
[41^(k+1)}-1
=41*(41^k)-1
=40*(41^k)+[(41^k)-1]
40*(41^k)可被20整除,[(41^k)-1]可被20整除{40*(41^k)+[(41^k)-1]}可被20整除
综上对每个n=k时,命题成立,总推出n=k+1时,命题成立
(41^n)-1可被20整除
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