导数的应用,面积、体积的最值问题.等腰三角形的周长为2p,它围绕底边旋转一周成一个几何体,问三角形的各边长分别是多少时,几何体的体积最大?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 11:37:51
导数的应用,面积、体积的最值问题.等腰三角形的周长为2p,它围绕底边旋转一周成一个几何体,问三角形的各边长分别是多少时,几何体的体积最大?
导数的应用,面积、体积的最值问题.
等腰三角形的周长为2p,它围绕底边旋转一周成一个几何体,问三角形的各边长分别是多少时,几何体的体积最大?
导数的应用,面积、体积的最值问题.等腰三角形的周长为2p,它围绕底边旋转一周成一个几何体,问三角形的各边长分别是多少时,几何体的体积最大?
设腰长为x,底边为2y,则2x+2y=2p,所以x+y=p
题中所求几何体就是两个相等的圆锥的体积之和,
该圆锥高为y,底面面积S=派（x^2-y^2)
所以所求几何体的体积V=[2派（x^2-y^2)*y]/3
将x=p-y代入得V=[2派（（p-y)^2-y^2)*y]/3
=2派（-2py^2+p^2y)/3
显然当y=p/4时V有最大值,即三角形的腰为3p/4、底边为p/2时,几何体的体积最大.
因为是以等腰三角形的底边转，所以旋转后的图形为两个圆椎体。先设三角形的腰长为X，底边为Y，则有2X+Y=2P.所以Y=2P－2X。所以依几何关系知道一个圆椎的高Y/2，它的半径为根号（X的平方减（Y/2）的平方），后根据体积公式得到一条V与XY相关的式子，将所得式子中的Y用X来表达后对所得式子求导，再让导函数等于零，得到X的值（该导函数应该是一次函数，我没有细算）带入体积函数中就可。...
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因为是以等腰三角形的底边转，所以旋转后的图形为两个圆椎体。先设三角形的腰长为X，底边为Y，则有2X+Y=2P.所以Y=2P－2X。所以依几何关系知道一个圆椎的高Y/2，它的半径为根号（X的平方减（Y/2）的平方），后根据体积公式得到一条V与XY相关的式子，将所得式子中的Y用X来表达后对所得式子求导，再让导函数等于零，得到X的值（该导函数应该是一次函数，我没有细算）带入体积函数中就可。
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