求证面积一定的所有矩形中,正方形的周长最短.这道题是导数和微分的应用，请用导数知识求解。
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 21:52:26
求证面积一定的所有矩形中,正方形的周长最短.这道题是导数和微分的应用，请用导数知识求解。
求证面积一定的所有矩形中,正方形的周长最短.
这道题是导数和微分的应用，请用导数知识求解。
求证面积一定的所有矩形中,正方形的周长最短.这道题是导数和微分的应用，请用导数知识求解。
1.不等式方法
设矩形长A,宽B.AB=S.
周长=2(A+B)>=2*2sqrt(S)
2.用导数方法求解.
设长A,则宽为S/A.
周长y=2(A+S/A）
y'=2-2S/A^2=0.得到A=sqrt(S)时,y最小.
且ymin=2*2sqrt(S)
设面积为S，a,b分别为其边长，那么
S=a*b
C=2(a+b)
因为 a+b>=√（a*b）/2,即2（a+b)>=√ab,即周长永远大于等于√面积。
若√面积是一个定值M,则周长永远大于等于这个定值M
当且仅当a=b时，等式成立。即等于定值M。此时周长最短，即是正方形
解:设矩形长x，宽y,面积S
则x*y=S
周长=2*(x+y)
=2*(x+S/x)>=2*2√S
当x=S/x时
取=,最小
故为正方形时周长最短
设矩形周长为L的定值.
面积为S
设a为长,b为宽;
a为变量;
L=2a+2b
S=a*b
S=a*[(L-2a)/2]
化简得:
S=-a^2+La/2
S'=-2a+L/2
S是一个开口向下的抛物线!
S最大,即得
S'=0
所以
-2a+L/2=0
a=L/4
所...
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设矩形周长为L的定值.
面积为S
设a为长,b为宽;
a为变量;
L=2a+2b
S=a*b
S=a*[(L-2a)/2]
化简得:
S=-a^2+La/2
S'=-2a+L/2
S是一个开口向下的抛物线!
S最大,即得
S'=0
所以
-2a+L/2=0
a=L/4
所以
b=L/4
此为导数法求解!
另注:任意正N多边形.周长相等,边数越多,面积越大.圆可看作为无穷多条边,面积最大
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