在正方形ABCD中,AE=二分之一AB,BF=四分之一BC,求证∠ADE=∠EDF
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/29 18:00:51
在正方形ABCD中,AE=二分之一AB,BF=四分之一BC,求证∠ADE=∠EDF
在正方形ABCD中,AE=二分之一AB,BF=四分之一BC,求证∠ADE=∠EDF
在正方形ABCD中,AE=二分之一AB,BF=四分之一BC,求证∠ADE=∠EDF
设 AB=AD=BC=4a
∴AE=BE=1/2AB=2a
BF=1/4BC=a
FC=3a
∴根据勾股定理：
DE²=AD²+AE²=16a²+4a²=20a²
EF²=BE²+BF²=4a²+a²=5a²
DF²=CD²+FC²=16a²+9a²=25a²
∴DF²=EF²+DE²
∴△DEF是直角三角形
做EM⊥DF
∴根据射影定理：
EF²=FM×DF
FM=EF²/DF=5a²/5a=a
∴DM=DF-FM=5a-a=4a
EM²=FM×DM=a×4a=4a²,EM=2a
∴AD=DM,AE=EM,DE=DE
∴△ADE≌△MDE
∴∠ADE=∠EDF
连接EF，得△EDF 设正方形ABCD边长为4 则EF=√5,DE=√20 ∵在△ADE中 tan∠ADE=AE/AD=1/2 又∵在△EDF中 tan∠EDF=EF/DE=√5/√20=1/2 ∴tan∠ADE=tan∠EDF ∴∠ADE=∠EDF
设AF=a
因为AF=4/1AD
所以AD=4a
又因为四边形ABCD为正方形
所以∠B=∠D=∠A=90度,AB=BC=CD=AD=4a
因为E为AB中点
所以AE=BE=2a
根据勾股定理得EF=根号5a
同理可证CE=根号20a,CF=5a
根据勾股定理逆定理得∠FEC=90度
所以∠FEC=∠B
又因为...
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设AF=a
因为AF=4/1AD
所以AD=4a
又因为四边形ABCD为正方形
所以∠B=∠D=∠A=90度,AB=BC=CD=AD=4a
因为E为AB中点
所以AE=BE=2a
根据勾股定理得EF=根号5a
同理可证CE=根号20a,CF=5a
根据勾股定理逆定理得∠FEC=90度
所以∠FEC=∠B
又因为EF/BE=CE/BC
∴△ADE相似于△MDE
∴∠ADE=∠EDF
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