如果不用数学归纳法,如何证明当n是自然数时,n(n+1)(2n+1)能被6整除?

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/24 10:04:23
如果不用数学归纳法,如何证明当n是自然数时,n(n+1)(2n+1)能被6整除?如果不用数学归纳法,如何证明当n是自然数时,n(n+1)(2n+1)能被6整除?如果不用数学归纳法,如何证明当n是自然数

如果不用数学归纳法,如何证明当n是自然数时,n(n+1)(2n+1)能被6整除?
如果不用数学归纳法,如何证明当n是自然数时,n(n+1)(2n+1)能被6整除?

如果不用数学归纳法,如何证明当n是自然数时,n(n+1)(2n+1)能被6整除?
没有楼上解得那么麻烦,而且如果知道n(n+1)(2n+1)=1^2+2^2...+n^2,也不用证了,
思路:只要能证明n(n+1)(2n+1)能同时被2和3整除,n(n+1)(2n+1)就能被6整除.
证:
n,n+1必为一奇一偶,n(n+1)(2n+1)能被2整除.
是否能被3整除,需要分类讨论.
n为3的倍数时,n(n+1)(2n+1)能被3整除.
n不是3的倍数时,n=3k+1或n=3k+2(k为自然数,包括0).
n=3k+2时,n+1=3k+2+1=3(k+1),是3的倍数,n(n+1)(2n+1)能被3整除.
n=3k+1时,2n+1=2(3k+1)+1=6k+3=3(2k+1),是3的倍数,n(n+1)(2n+1)能被3整除.
综上,n(n+1)(2n+1)能同时被2和3整除,因此能被6整除.

n(n+1)(2n+1)=n(n+1)[2(n+2)-3]
n和(n+1)中必有一个数是偶数能被2整除,
n,(n+1)和(n+2)必有一个数能被3整除,
则n,(n+1),[2(n+2)-3]必有一个数能被3整除
又因为2与3互质,所以n(n+1)[2(n+2)-3]能被6整除。

反证法(其实要不要反证都一样):
假设n(n+1)(2n+1)不能被6整除,则
1/6*n(n+1)(2n+1)为分数。
而1/6*n(n+1)(2n+1)=1^2+2^2+...+n^2
这是个数列求和公式,要证明也可以,用的是构造一个等式模型的方法:
因为(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
将n=1,2,3,..分别代入上式可得
...

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反证法(其实要不要反证都一样):
假设n(n+1)(2n+1)不能被6整除,则
1/6*n(n+1)(2n+1)为分数。
而1/6*n(n+1)(2n+1)=1^2+2^2+...+n^2
这是个数列求和公式,要证明也可以,用的是构造一个等式模型的方法:
因为(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
将n=1,2,3,..分别代入上式可得
2^3-1^3=3x1^2+3x1+1
3^3-2^3=3x2^2+3x2+1
......
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
将上式全部叠加得
(n+1)^3-1^3=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+.....+n)+n
又因为1+2+3+....+n=n(n+1)/2
所以代入,得到了1/6*n(n+1)(2n+1)=1^2+2^2+...+n^2
则n为自然数时,1/6*n(n+1)(2n+1)=1^2+2^2+...+n^2是个整数,矛盾,原假设不成立。
所以当n是自然数时,n(n+1)(2n+1)能被6整除

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如果不用数学归纳法,如何证明当n是自然数时,n(n+1)(n+2)能被3整除? 如果不用数学归纳法,如何证明当n是自然数时,n(n+1)(2n+1)能被6整除? 证明3^n大于 n^2对所有自然数恒成立 不用数学归纳法 证明当自然数n>=4时,n^3>3n^2+3n+1证明当n是不小于5的自然数时,总有2^n>n^2都要用数学归纳法 用数学归纳法证明:当n是不小于5的自然数时,总有2∧n>n∧2成立 关于数学归纳法数学归纳法是这样的:(1)证明当n取第一个值时命题成立;(2)假设当n=k(k≥n的第一个值,k为自然数)时命题成立,证明当n=k+1是命题也成立.我知道数学归纳法是对的,但我 如何数学归纳法证明所有的组合数都是自然数 对任意自然数n.11^(n+2)+12^(2n+1)是133的倍数用数学归纳法证明. 用数学归纳法证明:12|n^2(n^2-1),n是除零之外的自然数 容斥原理不用数学归纳法如何证明查了半天都是数学归纳法的证明.请问可以不用数学归纳法证明容斥原理吗? 如何证明C(0,n)+C(1,n)+C(2,n)+.+C(n-1,n)+C(n,n)=2的N次方 不用数学归纳法 证明2^n>2n+1 (n>=3,n为自然数),用数学归纳法 用数学归纳法证明 2的N次方+2大于N的平方n属于自然数 不用数学归纳法如何证明:1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6类比 逐差累加法来求. 如何用数学归纳法证明3^n〉n^2 对一切自然数皆成立? N个自然数平方根的倒数之和大于N的平方根用数学归纳法证明 如果x是实数,且x大于-1,x不等于0,n为大于1的自然数,那么有(1+x)^n 大于1+nx 用数学归纳法证明 证明1/n + 1/(n+1)+ 1/(n+2) +···+1/n² 大于1 (n为大于1的自然数)不用数学归纳法