用数学归纳法证明：12|n^2(n^2-1),n是除零之外的自然数

用数学归纳法证明：12|n^2(n^2-1),n是除零之外的自然数
用数学归纳法证明：12|n^2(n^2-1),n是除零之外的自然数

用数学归纳法证明：12|n^2(n^2-1),n是除零之外的自然数
n=1,是12|0,成立
若n=k成立
即12|k²(k²-1)
则n=k+1
(k+1)²[(k+1)²-1]-k²(k²-1)
=(k²+2k+1)(k²+2k)-k²(k²-1)
=4k³+6k²+2k
=2k(2k+1)(k+1)
若3|k,因为k(k+1)是偶数,所以2k(2k+1)(k+1)是2*3*2=12的倍数
若k=1(mod3),k=3a+1,则2k+1=6a+3,是3的倍数,则2k(2k+1)(k+1)是2*3*2=12的倍数
若k=2(mod3),k=3a+2,则k+1=a+3,是3的倍数,则2k(2k+1)(k+1)是12的倍数
所以12|{(k+1)²[(k+1)²-1]-k²(k²-1)}
因为12|k²(k²-1)
所以12|(k+1)²[(k+1)²-1]
即n=k是成立就有n=k+1时成立
综上,命题得证

数学归纳法就一般步骤：1、令N=1 成立
2 、N=n 时 化简式子 可推出成立

证明：
当n=1时，显然命题成立
假设当n=j时命题成立，当n=j+1时有：
(j+1)^2((j+1)^2-1)=(j^2+2j+1)(j^2+2j)=j^2(j^2-1)+2j(2j+1)(j+1)
当n=j时命题成立,所以12|j^2(j^2-1)，考察是否有12|2j(2j+1)(j+1)即6|j(2j+1)(j+1)
显然2|j(j+1)，判断是否...

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证明：
当n=1时，显然命题成立
假设当n=j时命题成立，当n=j+1时有：
(j+1)^2((j+1)^2-1)=(j^2+2j+1)(j^2+2j)=j^2(j^2-1)+2j(2j+1)(j+1)
当n=j时命题成立,所以12|j^2(j^2-1)，考察是否有12|2j(2j+1)(j+1)即6|j(2j+1)(j+1)
显然2|j(j+1)，判断是否有3|j(2j+1)(j+1)
当j=3k（k为自然数）时，3|j
当j=3k+1时，3|(2j+1)
当j=3k-1时，3|(j+1)
因此有：12|2j(2j+1)(j+1)
当n=j+1时12|n^2(n^2-1)命题成立
根据数学归纳法知，对于任意不等于0的自然数n，有12|n^2(n^2-1)

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n=1,2,3,.... => n^2 (n^2 -1) 是12的倍数
(数归法) n=1: 1^2(1^2-1)=0是12的倍数; n=2: 2^2(2^2-1)=4*3=12是12的倍数
...设n<=k时 都成立 k^4-k^2=12m
当 n=k+1时
(k+1)^2[(k+1)^2 -1]=(k+1)^4 -(k+1)^2=k^4+4...

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n=1,2,3,.... => n^2 (n^2 -1) 是12的倍数
(数归法) n=1: 1^2(1^2-1)=0是12的倍数; n=2: 2^2(2^2-1)=4*3=12是12的倍数
...设n<=k时 都成立 k^4-k^2=12m
当 n=k+1时
(k+1)^2[(k+1)^2 -1]=(k+1)^4 -(k+1)^2=k^4+4k^3+5k^2+2k=12m+4k^3+6k^2+2k
=12m+2k(2k^2+3k+1)=12m+2k(k+1)(2k+1) 但 k(k+1)(2k+1)必6倍数 =>全式为12倍数
=>得证
**** k(k+1)连续整数=>2倍数 再证k(k+1)(2k+1)是3倍数=>k(k+1)(2k+1)必6倍数
设n=1~k ; k(k+1)(2k+1)=3p=>2k^3+3k^2+k=3p ;
n=k+1 ; (k+1)(k+2)(2k+3)=2k^3+9k^2+13k+6=(2k^3+3k^2+k)+6k^2+12k+6
=> 3 l (k+1)(k+2)(2k+3) ok

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一定要用归纳法吗？有更简单的方法。
n^2(n^2-1) = n*(n-1)*n*(n+1)
(n-1)、n、(n+1) 三个连续自然数，一定有一个能被3整除；
如果n是偶数，则n*n能被4整除；如果n是奇数，则(n-1)*(n+1)能被4整除；
所以，n^2(n^2-1) 能被12整除。