已知:在△ABC中,AC⊥BC,AC=BC,直线EF交AC于F,交AB于E,交BC的延长线于D,连结AD、BF,CF=CD,求证BF⊥AD

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 09:06:40
已知:在△ABC中,AC⊥BC,AC=BC,直线EF交AC于F,交AB于E,交BC的延长线于D,连结AD、BF,CF=CD,求证BF⊥AD已知:在△ABC中,AC⊥BC,AC=BC,直线EF交AC于F

已知:在△ABC中,AC⊥BC,AC=BC,直线EF交AC于F,交AB于E,交BC的延长线于D,连结AD、BF,CF=CD,求证BF⊥AD
已知:在△ABC中,AC⊥BC,AC=BC,直线EF交AC于F,交AB于E,交BC的延长线于D,连结AD、BF,CF=CD,求证BF⊥AD

已知:在△ABC中,AC⊥BC,AC=BC,直线EF交AC于F,交AB于E,交BC的延长线于D,连结AD、BF,CF=CD,求证BF⊥AD
三角形CDF 相似于三角形EAF
DE 垂直 AB
AC,DE为三角形ABD的高线,三角形三条高线共点,所以BF是AD的高线,BF⊥AD

∵AC⊥BC,AC=BC
∴∠BAC=45º
∵AC⊥BC,CF=CD
∴∠CFD=45º
∴ΔAEF是等腰直角三角形
∴DE⊥AB
又AC⊥BC
根据三角形垂心性质,F是ΔABD的垂心
故 BF⊥AD

因为AC垂直于BD,所以角ACB=角ACD=90°。又AC=BC,CD=CF,所以三角形ACD与三角形BCF全等(边角边定理,好像是这个名字)。所以∠CAD=∠CBF,延长BF交AD于P,则∠PBD=∠CBF=∠CAD,又∠CDA=∠PDB,所以∠BPD=∠ACD=90°,证毕

AC⊥BC BC=AC FC=CD 知△BCF与△ACD全等 可知∠FBC=∠CAD ∠ADC共有 BF延伸至AD交点设为G点 ∠BGD=∠ACD 为直角 得证BF⊥AD