讨论方程 x^2=xsin x+cos x 的根的个数.

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/19 04:51:57
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讨论方程 x²=xsin x+cos x 的根的个数.
设f(x)=x²-xsinx-cosx=0
令f '(x)=2x-sinx-xcosx+sinx=2x-xcosx=x(2-cosx)=0
因为2-cosx≠0,故必有x=0,即f(x)只有唯一的一个驻点x=0;当x0;
因此x=0是f(x)的极小点,极小值f(x)=f(0)=-1;当x→±∞时f(x)→+∞.故原方程会有两个根.

令f(x)=x²-xsinx-cosx
显然f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数
f'(x)=2x-sinx-xcosx+sinx=2x-xcosx=x(2-cosx)
当x>0时,有2-cosx>0, f'(x)>0,函数单调增,至多只有一个零点;又f(0)=-1<0, f(2)=4-2sin2-cos2>0
所以当x>0时有唯一零点,且在(0,2)...

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令f(x)=x²-xsinx-cosx
显然f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数
f'(x)=2x-sinx-xcosx+sinx=2x-xcosx=x(2-cosx)
当x>0时,有2-cosx>0, f'(x)>0,函数单调增,至多只有一个零点;又f(0)=-1<0, f(2)=4-2sin2-cos2>0
所以当x>0时有唯一零点,且在(0,2)
由对称性,在x<0时也有另一零点。
而x=0不是零点。
因此原方程有2个实根。

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