微分方程的一个问题.微分方程 xdy = ydx 化为可分离变量的微分方程 dy/y = dx/x时,是不是前提要保证y和x均不为0?如果是的话,书上为什么没有讨论呢?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 17:06:13
微分方程的一个问题.微分方程 xdy = ydx 化为可分离变量的微分方程 dy/y = dx/x时,是不是前提要保证y和x均不为0?如果是的话,书上为什么没有讨论呢?
微分方程的一个问题.
微分方程 xdy = ydx 化为可分离变量的微分方程 dy/y = dx/x时,是不是前提要保证y和x均不为0?如果是的话,书上为什么没有讨论呢?
微分方程的一个问题.微分方程 xdy = ydx 化为可分离变量的微分方程 dy/y = dx/x时,是不是前提要保证y和x均不为0?如果是的话,书上为什么没有讨论呢?
首先变量分离前要讨论这个问题
如果没有讨论确实是书上有问题
令dy=0,得y=0,得到一个特解
最后应该是可以并进后面解出来解当中
这个题目不是这样做的吧！
先把右边的式子移到左边，利用补项，在等式两边同时除以某个项，得到的项就是某个函数的全微分。
剩下的自己做吧，微积分书上应该有类似的题。
如果要化为变量分离形式，是要求 x,y 均不为0.
你可以自己考虑 x 或 y 为 0 的情况。
实际上，只要 x,y 不全为 0，就可以直接积分，把原方程化成
(xdy-ydx)/(x^2+y^2)=0，于是有 d[log(y/x)]=0, if x doesn't eqaul 0.
由此得到 y=Cx (C is a constant depending on ...
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如果要化为变量分离形式，是要求 x,y 均不为0.
你可以自己考虑 x 或 y 为 0 的情况。
实际上，只要 x,y 不全为 0，就可以直接积分，把原方程化成
(xdy-ydx)/(x^2+y^2)=0，于是有 d[log(y/x)]=0, if x doesn't eqaul 0.
由此得到 y=Cx (C is a constant depending on the initial condition)
对 y 不为 0 可以类似考虑.
然后考虑过 (0,0) 的轨道,首先容易发现 x=y=0 是一个解.
由于这个方程与下面的自治方程组等价
dx/dt=x
dy/dt=y
于是由线性方程组解的存在唯一性，可以立即得到过平面中任意一点的轨道的存在唯一性。
于是过 (x_0,y_0) (x_0,y_0不全为0) 的轨道就是一条射线,并且不包含原点.(否则过原点就有两条轨道，也就是说这条轨道是穿不过原点的，于是只能是不含端点的射线).
而对于过 (0,0) 的轨道,就是 x=y=0，即对应唯一的零解.
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