已知复数Z满足|Z|=1,且Z≠±i,求证:(z+i)/(z-i)是纯虚数百度知道里的相关答案看不懂 表复制了
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/21 01:31:57
已知复数Z满足|Z|=1,且Z≠±i,求证:(z+i)/(z-i)是纯虚数百度知道里的相关答案看不懂 表复制了
已知复数Z满足|Z|=1,且Z≠±i,求证:(z+i)/(z-i)是纯虚数
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方法有好多呦,给一种好懂的吧：
设z=x+yi(x,y∈R),因为|Z|=1,则x^2+y^2=1
所以(z+i)/(z-i)=[x+(y+1)i]/[x+(y-1)i]=[x+(y+1)i]*[x-(y-1)i]/[x^2+(y-1)^2]
=[(x^2+y^2-1)+2xi]/[x^2+(y-1)^2]
=xi/(1-y)
因为Z≠±i,所以x≠0
所以:(z+i)/(z-i)是纯虚数
(z+i)/(z-i) =(z+i)^2/(z^2-i^2) =(z^2-1+2i)/(1+1 )=(1+2i-1)/2=i 因此它为纯虚数
设z=a+bi ；
|z|=(a²+b²)^(½)=1
∴a²+b²=1
(z+i)/(z-i)
=[a+(b+1) i ] / [a+(b-1) i ]
={ [a+(b+1) i ] [a-(b-1) i ] } / { [a+(b-1) i ] [a-(b-1) i ] }
=[a²-...
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设z=a+bi ；
|z|=(a²+b²)^(½)=1
∴a²+b²=1
(z+i)/(z-i)
=[a+(b+1) i ] / [a+(b-1) i ]
={ [a+(b+1) i ] [a-(b-1) i ] } / { [a+(b-1) i ] [a-(b-1) i ] }
=[a²-a(b-1) i +a(b+1) i -(b²-1) i² ] / [a²-(b-1)² i²]
=[a²+2ai +b²-1 ] / [a²+(b-1)²]
=2ai / (2-2b) (∵a²+b²=1)
=ai / (1-b)
∵a,b都是实数
∴ai / (1-b)是纯虚数
收起
设Z=a+bi，则a平方+b平方=1，(z+i)/(z-i)=Z平方-i平方=（a+bi）的平方+1=a的平方-b的平方+2abi+1，要为纯虚数只能a的平方-b的平方+1=0