一道数学证明题,用数学语言回答完全加50分若K,N属于正整数,集合X={K+1,K+2,K+3……K+N},求证：无论K和N取何值,集合X中有且只有一个数可被N整除.如果能用数学语言证明“只有一个”（证明唯一
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/09 18:50:13
一道数学证明题,用数学语言回答完全加50分若K,N属于正整数,集合X={K+1,K+2,K+3……K+N},求证：无论K和N取何值,集合X中有且只有一个数可被N整除.如果能用数学语言证明“只有一个”（证明唯一
一道数学证明题,用数学语言回答完全加50分
若K,N属于正整数,集合X={K+1,K+2,K+3……K+N},求证：无论K和N取何值,集合X中有且只有一个数可被N整除.
如果能用数学语言证明“只有一个”（证明唯一性）,则加50分.说话算数.
对不起，我不知道将50分给谁。只好发起投票了。
不知道投完票后50分还能给么？
一道数学证明题,用数学语言回答完全加50分若K,N属于正整数,集合X={K+1,K+2,K+3……K+N},求证：无论K和N取何值,集合X中有且只有一个数可被N整除.如果能用数学语言证明“只有一个”（证明唯一
若有两个,设它们为K+I,K+J
其中I,J不同,且均不小于1,均不大于N
这样,因N整除K+I,K+J,故N也整除它们的差的绝对值 t=|J-I|
但t为不超过N-1的正整数,不可能!
从而至多一个
另一方面,设K被N除余N-S(这里S为不小于1且不大于N的正整数),则K+S能被N整除,而K+S在X中.
综上得证
存在性
不妨设K=t(modN),0=
由于1=
假设X中有两个满足条件
设K1，K2被N整除，K1=K+a,K2=K+b，其中满足1<=a,b<=N,a不等于b
所以K1-K2=a-b=0(modN)
所以a=b(modN),<...
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存在性
不妨设K=t(modN),0=
由于1=
假设X中有两个满足条件
设K1，K2被N整除，K1=K+a,K2=K+b，其中满足1<=a,b<=N,a不等于b
所以K1-K2=a-b=0(modN)
所以a=b(modN),
又因为1<=a,b<=N
所以a=b，所以K1=K2，这与假设矛盾
所以唯一性证明完毕
综上，命题成立
收起
先证明存在性，用反证法，假设对于某个n,不存在k使集合X中有且只有一个数可被N整除
则k+1,k+2，……k+n被n除的余数两两不同
根据抽屉原理，k+1,k+2，……k+n一共有n个元素，而“抽屉”至多有n个（因为余数小于除数），如果这n个“物品”放入n个“抽屉”，则必有一个“物体”放入“余数为0”的抽屉，与题设矛盾
再证必要性,假设k+p是n的倍数(1≤p≤n)
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先证明存在性，用反证法，假设对于某个n,不存在k使集合X中有且只有一个数可被N整除
则k+1,k+2，……k+n被n除的余数两两不同
根据抽屉原理，k+1,k+2，……k+n一共有n个元素，而“抽屉”至多有n个（因为余数小于除数），如果这n个“物品”放入n个“抽屉”，则必有一个“物体”放入“余数为0”的抽屉，与题设矛盾
再证必要性,假设k+p是n的倍数(1≤p≤n)
如果k+m也是p的倍数(不妨设m>p)
则必有m-p也是n的倍数
但m-p≠0,所以m-p最小为n
因而k+m=(k+p)+(m-p)>k+p+n>k+n
故不存在
若m
收起
设K+1≡M(modN)
那么K+2≡M+1,(modN)
......
K+N≡M+N-1,(modN)
其中M可以的取值在 0到N-1的正整数
所以无论M取何值总可以找到一个元素使得K+Ni≡N(modN)
如果存在至少两个元素满足K+Ni≡N(modN),那么
N1-N2>=N,而显然，N1-N2<=N-1，所以不成立<...
全部展开
设K+1≡M(modN)
那么K+2≡M+1,(modN)
......
K+N≡M+N-1,(modN)
其中M可以的取值在 0到N-1的正整数
所以无论M取何值总可以找到一个元素使得K+Ni≡N(modN)
如果存在至少两个元素满足K+Ni≡N(modN),那么
N1-N2>=N,而显然，N1-N2<=N-1，所以不成立
所以结论成立
收起
若K
若K>N,设正整数T,Z,Y,T+Y=N,有K=ZN+T,在集合X中有唯一Xy=K+Y=ZN+T+Y
(Z+1)N,得到唯一Xy被N整除