高中数学不等式的证明,谢谢!1/(1+|a|)+1/(1+|b|)≤1+1/(1+|a+b|)
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 04:18:16
高中数学不等式的证明,谢谢!1/(1+|a|)+1/(1+|b|)≤1+1/(1+|a+b|)
高中数学不等式的证明,谢谢!
1/(1+|a|)+1/(1+|b|)≤1+1/(1+|a+b|)
高中数学不等式的证明,谢谢!1/(1+|a|)+1/(1+|b|)≤1+1/(1+|a+b|)
1/(1+|a|)+1/(1+|b|)=(2+|a|+|b|)/[(1+|a|)(1+|b|)]
1+1/(1+|a+b|)>=1+1/(1+|a|+|b|)=(2+|a|+|b|)/(1+|a|+|b|)
所以 1+1/(|a+b|)>={[(1+|a|)(1+|b|)]/(1+|a|+|b|)}*[1/(1+|a|)+1/(1+|b|)]
因为{[(1+|a|)(1+|b|)]/(1+|a|+|b|)}>=1
所以1+1/(|a+b|)>=[1/(1+|a|)+1/(1+|b|)]
即证 (2+|a|+|b|)/(1+|ab|+|a|+|b|)≤(2+|a+b|)/(1+|a+b|)
而左式≤(2+|a|+|b|)/(1+|a|+|b|) 另f(x)=(2+x)/(1+x)=1+1/(1+x) 在x>0时单调递减 而 |a|+|b|≥|a+b| so f(|a|+|b|)≤f(|a+b|)
so (2+|a|+|b|)/(1+|a|+|b|)≤(2+|a+b|)/(1+|a+b|) 得证
（1）|ab|≥0.===>(两边加1+|a|+|b|).1+|a|+|b|+|ab|≥1+|a|+|b|>0.====>(取倒数）1/(1+|a|+|b|)≥1/(1+|a|+|b|+|ab|).===>(2+|a|+|b|)/(1+|a|+|b|)≥(2+|a|+|b|)/(1+|a|+|b|+|ab|)=1/(1+|a|)+1/(1+|b|).===>1+1/(1+|a|+|b|)≥1/(1...
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（1）|ab|≥0.===>(两边加1+|a|+|b|).1+|a|+|b|+|ab|≥1+|a|+|b|>0.====>(取倒数）1/(1+|a|+|b|)≥1/(1+|a|+|b|+|ab|).===>(2+|a|+|b|)/(1+|a|+|b|)≥(2+|a|+|b|)/(1+|a|+|b|+|ab|)=1/(1+|a|)+1/(1+|b|).===>1+1/(1+|a|+|b|)≥1/(1+|a|)+1/(1+|b|).(2)由三角不等式知，|a+b|≤|a|+|b|.===>1/(1+|a+b|)≥1/(1+|a|+|b|).综上可知，原不等式成立。
收起
1 + 1/(1+|a+b|)
≥1 + 1/(1+|a |+| b|)
=(1+|a |)+(1+|b |)/(1+|a |+| b|)
≥ (1+|a |)/(1+|a |+| b|) + (1+|a |)/(1+|a |+| b|)
≥1/(1+| b|) + 1/(1+| a|) 证得本题.