已知集合M={（x,y）lx>0,y>0,x+y=k},其中k为大于0的常数,（1）对任意（x,y）,t=xy,求t的取值范围（2）求证：当k>=1时,不等式（1/x-x)(1/y-y)
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/11 18:16:15
已知集合M={（x,y）lx>0,y>0,x+y=k},其中k为大于0的常数,（1）对任意（x,y）,t=xy,求t的取值范围（2）求证：当k>=1时,不等式（1/x-x)(1/y-y)
已知集合M={（x,y）lx>0,y>0,x+y=k},其中k为大于0的常数,（1）对任意（x,y）,t=xy,求t的取值范围
（2）求证：当k>=1时,不等式（1/x-x)(1/y-y)
已知集合M={（x,y）lx>0,y>0,x+y=k},其中k为大于0的常数,（1）对任意（x,y）,t=xy,求t的取值范围（2）求证：当k>=1时,不等式（1/x-x)(1/y-y)
(1) t=xy≤[(x+y)/2]^2=k^2/4 所以t∈（0,k^2/4]
(2)用求差法证明.设x-y=p,则4xy=k^2-p^2,
右边－ 左边
=（k^2-p^2）/(4k^2)-[(xy+1)^2-k^2]/xy
=（k^2-p^2）/(4k^2)- [(4xy+4)^2-16k^2]/(16 xy)
=（k^2-p^2）/(4k^2)-[(k^2-p^2-4)^2-16k^2]/[4(k^2-p^2)]
= {(k^2-4)^2(k^2-p^2)-k^2[(k^2-p^2+4)^2-16k^2]}/[4k^2(k^2-p^2)]
= p^2 [k^2 (k^2-p^2)+16(k^2-1)] /[4k^2(k^2-p^2)]
∵k^2-p^2=4xy＞0,k^2-1≥0,
∴k^2 (k^2-p^2)+16(k^2-1)＞0,又p^2≥0
∴右边 – 左边≥0,
∴不等式①成立.
(1)由（X+Y）^2-4xy>=0 代入得k^2-4t>=0 推出t<=k^2/4 又由于x,y>0可知t=xy>0
最终 0
将k=x+y代入 （k/2-2/k）^2后得（1/x-x)(1/y-y)<=[（x+y）/2-2/(x+y)]^2 展开后移位化简
一般这种题最后的形式是一个或者...
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(1)由（X+Y）^2-4xy>=0 代入得k^2-4t>=0 推出t<=k^2/4 又由于x,y>0可知t=xy>0
最终 0
将k=x+y代入 （k/2-2/k）^2后得（1/x-x)(1/y-y)<=[（x+y）/2-2/(x+y)]^2 展开后移位化简
一般这种题最后的形式是一个或者两个绝对值式，根据情况判断就是结果。
ps：题目还是自己动手试试比较好，对于理解和记忆都有帮助。
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