一道高中数学题,要有详细的过程已知函数F(x)=x2ln(ax)(a〉0)(1)若F'(x)≤x2对任意的x〉0恒成立,求实数a的取值范围;(2)当a=1时,设函数G(x)=F(x)/x,若x1,x2∈(1/e,1),x1+x2〈1,
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 18:34:18
一道高中数学题,要有详细的过程已知函数F(x)=x2ln(ax)(a〉0)(1)若F'(x)≤x2对任意的x〉0恒成立,求实数a的取值范围;(2)当a=1时,设函数G(x)=F(x)/x,若x1,x2∈(1/e,1),x1+x2〈1,
一道高中数学题,要有详细的过程
已知函数F(x)=x2ln(ax)(a〉0)
(1)若F'(x)≤x2对任意的x〉0恒成立,求实数a的取值范围;
(2)当a=1时,设函数G(x)=F(x)/x,若x1,x2∈(1/e,1),x1+x2〈1,求证x1x2〈(x1+x2)的4次幂
一道高中数学题,要有详细的过程已知函数F(x)=x2ln(ax)(a〉0)(1)若F'(x)≤x2对任意的x〉0恒成立,求实数a的取值范围;(2)当a=1时,设函数G(x)=F(x)/x,若x1,x2∈(1/e,1),x1+x2〈1,
分析:(1)先求出导数:f'(x)=2xln(ax)+x欲使得f'(x)=2xln(ax)+x≤x2,即2lnax+1≤x在x>0上恒成立,设u(x)=2lnax+1-x再利用导数研究此函数的最大值,即可求得实数a的取值范围;
(2)当a=1时,g(x)=f(x)x=xlnx,利用导数得到g(x)在(1e,+∞)上g(x)是增函数,(0,1e)上是减函数从而得出lnx1<x1+x2x1ln...
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分析:(1)先求出导数:f'(x)=2xln(ax)+x欲使得f'(x)=2xln(ax)+x≤x2,即2lnax+1≤x在x>0上恒成立,设u(x)=2lnax+1-x再利用导数研究此函数的最大值,即可求得实数a的取值范围;
(2)当a=1时,g(x)=f(x)x=xlnx,利用导数得到g(x)在(1e,+∞)上g(x)是增函数,(0,1e)上是减函数从而得出lnx1<x1+x2x1ln(x1+x2),同理lnx2<x1+x2x2ln(x1+x2)两式相加化简即可证得结论.
(1)f'(x)=2xln(ax)+x(1分)f'(x)=2xln(ax)+x≤x2,即2lnax+1≤x在x>0上恒成立
设u(x)=2lnax+1-xu′(x)=2x-1=0,x=2,x>2时,单调减,
x<2单调增,所以x=2时,u(x)有最大值u(2)(3分)
u(2)≤0,2ln2a+1≤2,所以0<a≤e2(5分)
(2)当a=1时,g(x)=f(x)x=xlnx,g(x)=1+lnx=0,x=1e,
所以在(1e,+∞)上g(x)是增函数,(0,1e)上是减函数(6分)
因为1e<x1<x1+x2<1,所以g(x1+x2)=(x1+x2)ln(x1+x2)>g(x1)=x1lnx1
即lnx1<x1+x2x1ln(x1+x2)
同理lnx2<x1+x2x2ln(x1+x2)(8分)
所以lnx1+lnx2<(x1+x2x2+x1+x2x1)ln(x1+x2)=(2+x1x2+x2x1)ln(x1+x2)
又因为2+x1x2+x2x1≥4,当且仅当“x1=x2”时,取等号(10分)
又x1,x2∈(1e,1),x1+x2<1,ln(x1+x2)<0(11分)
所以(2+x1x2+x2x1)ln(x1+x2)≤4ln(x1+x2)
所以lnx1+lnx2<4ln(x1+x2)
所以:x1x2<(x1+x2)4(12分)
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