求证:x^2-xy+y^2+x+y不能分解成两个一次因式的乘积．
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/18 03:47:54
求证:x^2-xy+y^2+x+y不能分解成两个一次因式的乘积．
求证:x^2-xy+y^2+x+y不能分解成两个一次因式的乘积．
求证:x^2-xy+y^2+x+y不能分解成两个一次因式的乘积．
反证法：
因为x^2和y^2前面的系数都是1,
所以设 x^2-xy+y^2+x+y = （x+y+a)(x+y+b)
（x+y+a)(x+y+b)=x^2+xy+bx+xy+y^2+by+ax+ay+ab
=x^2+2xy+y^2+(a+b)x+(a+b)y+ab
用系数待定法,两式相减：-xy+x+y=2xy+(a+b)x+(a+b)y+ab
有ab=0,a+b=1,a和b有解,但是xy的系数-1显然不等于2
所以（x+y+a)(x+y+b)不成立,即如题
楼下对我的描述有误,系数待定法是不需要这样的,即时出现楼下所描述的,那么在ab等后续系数的待定上是会体现出来的.这是系数待定法的基本性质.
楼上做法不对，X^2系数1,y^2系数1 不能设成x^2-xy+y^2+x+y = （x+y+a)(x+y+b) 比如(2x+1/2y+a)(1/2x+2y+b)也满足展开后x^2系数1，y^2系数1,该设法不具一般性!!
反证法，待定系数
假设可以分解成两个一次因式的乘积，
设这两个因式分别为(ax+by+c),(mx+ny+q)
则x^2-xy+y^2+x+y=...
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楼上做法不对，X^2系数1,y^2系数1 不能设成x^2-xy+y^2+x+y = （x+y+a)(x+y+b) 比如(2x+1/2y+a)(1/2x+2y+b)也满足展开后x^2系数1，y^2系数1,该设法不具一般性!!
反证法，待定系数
假设可以分解成两个一次因式的乘积，
设这两个因式分别为(ax+by+c),(mx+ny+q)
则x^2-xy+y^2+x+y=(ax+by+c)(mx+ny+q)
=amx^2+anxy+aqx+bmxy+bny^2+bqy+cmx+cny+cq
=amx^2+(an+bm)xy+bny^2+(aq+cm)x+(bq+cn)y+cq
比较系数，得:
am=1 , ...1式
an+bm=-1, ...2式
bn=1,...3 式
aq+cm=1,...4式
bq+cn=1 ,...5 式
cq=0，...6式
根据6 式，c,q中至少1个为0
不妨设c=0 ,那么 将c=0代入4，5式，得aq=1,bq=1
所以q不等于0， aq-bq=1,所以a=b
代入1，3式,得：m=n
所以 an=bm, 再根据2式 an+bm=2an=-1 即 an=-1/2 所以am=-1/2
这与1式 am=1矛盾
所以假设不成立，所以，x^2-xy+y^2+x+y不能分解成两个一次因式的乘积．
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