请教各位高手：已知f(x)=根号(1＋x＾),当a≠b时,求证：绝对值[f(a)-f(b)]＜绝对值〔a-b].谢谢!
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 18:07:11
请教各位高手：已知f(x)=根号(1＋x＾),当a≠b时,求证：绝对值[f(a)-f(b)]＜绝对值〔a-b].谢谢!请教各位高手：已知f(x)=根号(1＋x＾),当a≠b时,求证：绝对值[f(a)-
请教各位高手：已知f(x)=根号(1＋x＾),当a≠b时,求证：绝对值[f(a)-f(b)]＜绝对值〔a-b].谢谢!
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证：|√(1+a^2)-√(1+b^2)|<|a-b|.
证明：为方便起见,令a>b,则欲证式成为：
√(1+a^2)-√(1+b^2)
[(1+a^2)-(1+b^2)]/[√(1+a^2)+√(1+b^2)]
(a+b)/[√(1+a^2)+√(1+b^2)]<1
a+b<√(1+a^2)+√(1+b^2)
于是,要证原式成立,就等价于证上式成立.
当a<0时,√(1+a^2)>a,明显成立.
当a>0时,则1+a^2>a^2,两边同时开平方得：√1+a^2>a,
同理,√1+b^2>b也成立.
相加即得：
a+b<√(1+a^2)+√(1+b^2)
因此,倒推即可.
如果楼主还有不明白的地方,可以进行问题补充,或者发信息给我.
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