设a≥0,b≥0,a^2+b^2/2=1,求 a√(1+b^2)的最大值

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/24 13:24:06
设a≥0,b≥0,a^2+b^2/2=1,求a√(1+b^2)的最大值设a≥0,b≥0,a^2+b^2/2=1,求a√(1+b^2)的最大值设a≥0,b≥0,a^2+b^2/2=1,求a√(1+b^2

设a≥0,b≥0,a^2+b^2/2=1,求 a√(1+b^2)的最大值
设a≥0,b≥0,a^2+b^2/2=1,求 a√(1+b^2)的最大值

设a≥0,b≥0,a^2+b^2/2=1,求 a√(1+b^2)的最大值
第一种方法:用二次函数性质求:a√(1+b^2)=a√(3-2a^2)=√[a^2(3-2a^2)] 设a^2=t,t≥0 √[a^2(3-2a^2)]=√[t(3-2t)]=√-2[(t-3/4)^2-9/16] 当t=3/4时,最大值3√2/4 a^2=3/4 当a=√3/2 时a√(1+b^2)的最大值为3√2/4 第二种方法:不等式性质(a+b)/2>√ab求解 a√(1+b^2)=a√(3-2a^2)=√[a^2(3-2a^2)]=√[2a^2(3-2a^2)/2]≤√(1/2)[2a^2+(3-2a^2)]/2=3√2/4 当2a^2=3-2a^2时等号成立!