证明是等差数列已知函数f(x)=x^2-2x,设数列{an}的前n项和Sn=f(n),令bn=(a2+a4+…+a2n)/n,证明数列{bn}是等差数列.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 07:16:31
证明是等差数列已知函数f(x)=x^2-2x,设数列{an}的前n项和Sn=f(n),令bn=(a2+a4+…+a2n)/n,证明数列{bn}是等差数列.
证明是等差数列
已知函数f(x)=x^2-2x,设数列{an}的前n项和Sn=f(n),令bn=(a2+a4+…+a2n)/n,证明数列{bn}是等差数列.
证明是等差数列已知函数f(x)=x^2-2x,设数列{an}的前n项和Sn=f(n),令bn=(a2+a4+…+a2n)/n,证明数列{bn}是等差数列.
Sn=f(n)=n^2-2n
a1=S1=-1
n>=2:
S(n-1)=(n-1)^2-2(n-1)=n^2-4n+3
an=Sn-S(n-1)=2n-3
a1=-1符合,故an=2n-3
a2=1,a2n=2*2n-3=4n-3
所以,a2+a4+...a2n=(1+4n-3)*n/2=n(2n-1)
即bn=2n-1
b(n+1)=2(n+1)-1
b(n+1)-bn=2.(常数)
所以,数列{bn}是等差数列.
S(n+1)=f(n+1)=(x+1)^2-2(x+1)
Sn=f(n)=x^2-2x
a(n+1)=S(n+1)-Sn=2x-1
得an=2x-3（n≥2)
a1=S1=-1也满足上式
所以数列{an}通项an=2x-3
bn=(a2+a4+…+a2n)/n
=[2(2+4+6+...+2n)-3n]/n
=[2n(n+1)-3n]/n
=2(n+1)-3
=2n-1
所以b(n+1)-bn=2
所以数列{bn}是等差数列
因为An=Sn-Sn-1=2n-3,n*Bn=a2+a4+.....a2n (1),则，n*Bn+1=a4+a6+.......+a2n+2 (2);
(2)-(1),得，Bn=A2n+2 - a2 =2n,所以，Bn-Bn-1=2,故等差数列
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