已知正项数列{an}的首项a1=m,其中0
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 19:57:37
已知正项数列{an}的首项a1=m,其中0
已知正项数列{an}的首项a1=m,其中0
已知正项数列{an}的首项a1=m,其中0
∵函数f(x)=x/(1+2x),正项数列{a[n]}满足a[n+1]≤f(a[n]) (n≥1且n∈N）
∴a[n+1]≤a[n]/(1+2a[n])
即：1/a[n+1]-1/a[n]≥2
∴1/a[n]-1/a[n-1]≥2
.
1/a[3]-1/a[2]≥2
1/a[2]-1/a[1]≥2
将上面各式叠加,得：
1/a[n+1]-1/a[1]≥2n
∵a[1]=m,其中0
f(x)=x/(1+2x).f（an)=an/(1+2an).
a（n+1)≤f（an).a（n+1)≤an/(1+2an).
1/A(n+1)=差数列
1/An＝1/m＋2(n-1)=2n-2+1/m
An=1/(2n-2+1/m)
bn=an/（2n+1）
b=1/(2n-2+1/m)/（2n+1）=（2n+1）/(2n-2+1/m)
前几天做了一个题，已知a(n+1) = an/(1+2an)，求通项的。解法就是两边取倒数，得到1/a(n+1) = 1/an + 2，得到an的倒数是等差数列，an不难求得。因此这个题也可以用类似方法，从而进行放缩
a(n+1)<= an/(1+2an),因为是正项数列两边取倒数，就得到
1/a(n+1)>=1/an + 2
如果假定an<1/(2n+1)，那么1/an ...
全部展开
前几天做了一个题，已知a(n+1) = an/(1+2an)，求通项的。解法就是两边取倒数，得到1/a(n+1) = 1/an + 2，得到an的倒数是等差数列，an不难求得。因此这个题也可以用类似方法，从而进行放缩
a(n+1)<= an/(1+2an),因为是正项数列两边取倒数，就得到
1/a(n+1)>=1/an + 2
如果假定an<1/(2n+1)，那么1/an > 2n+1，所以
1/a(n+1)>2n+1+2 = 2n+3，所以有a(n+1) < 1/[2(n+1)+1]，因此我们证得对于所有n都有
an < 1/(2n+1)
连续几次进行放缩，可以得到
bn =an/(2n+1) < 1/(2n+1)^2 < 1/[(2n+1)(2n-1) = 1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
所以b1 + b2 + b3 + ...+ bn < 1/2[1 - 1/3 + 1/3 -1/5 + ...+ 1/(2n-1)-1/(2n+1)] = 1/2 [1-1/(2n+1)] < 1/2，得证
收起
f(x)=x/(1+2x).f（an)=an/(1+2an).
a（n+1)≤f（an).a（n+1)≤an/(1+2an).
1/A(n+1)=2+1/An.1/A(n+1)-1/An=2.
1/An是以2为公差1/m为首项的等差数列
1/An＝1/m＋2(n-1)=2n-2+1/m
An=1/(2n-2+1/m)
bn=an/（2n+1）
bn=1/(2n-2+1/m)/（2n+1）=（2n+1）/(2n-2+1/m)