过点A(根号2,1)的直线与两坐标轴的正半轴分别交于M,N两点,O为坐标原点,求OM+ON+MN长度的最小值.
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/09/09 03:40:59
过点A(根号2,1)的直线与两坐标轴的正半轴分别交于M,N两点,O为坐标原点,求OM+ON+MN长度的最小值.
过点A(根号2,1)的直线与两坐标轴的正半轴分别交于M,N两点,O为坐标原点,求OM+ON+MN长度的最小值.
过点A(根号2,1)的直线与两坐标轴的正半轴分别交于M,N两点,O为坐标原点,求OM+ON+MN长度的最小值.
不失一般性地设M在x轴上,N在y轴上.过A作AB⊥OM交OM于B,作AC⊥ON交ON于C.
容易证出:ABOC是矩形,由点A的坐标可知:OB=AC=√2、OC=AB=1.
还容易证出:△ABM∽△NCA,∴NC/AC=AB/BM,∴NC=AB×AC/BM=1×√2/BM=√2/BM.
设BM=m,则:NC=√2/m.
由勾股定理,有:
AM=√(AB^2+BM^2)=√(1+m^2); AN=√(NC^2+AC^2)=√(2/m^2+2).
∴OM+ON+MN=OB+BM+OC+NC+AM+AN,
∴OM+ON+MN-OB-OC=BM+NC+AM+AN,
∴OM+ON+MN-√2-1=m+√2/m+√(1+m^2)+√(2/m^2+2).
令OM+ON+MN-√2-1=y,则:y=m+√2/m+√(1+m^2)+√(2/m^2+2).
进行三角代换,令m=tanθ,且θ为锐角,则:
y=tanθ+√2cotθ+√[1+(tanθ)^2]+√[2(cotθ)^2+2]
=sinθ/cosθ+√2cosθ/sinθ+1/cosθ+√2/sinθ
=(1+sinθ)/cosθ+√2(1+cosθ)/sinθ
=[cos(θ/2)+sin(θ/2)]^2/{[cos(θ/2)]^2-[sin(θ/2)]^2}+√2cot(θ/2)
=[cos(θ/2)+sin(θ/2)]/[cos(θ/2)-sin(θ/2)]+√cot(θ/2)
=[cot(θ/2)+1]/[cot(θ/2)-1]+√2cot(θ/2).
再令cot(θ/2)=x,则:y=(x+1)/(x-1)+√2x, 去分母,得:
yx-y=x+1+√2x^2-√2x, ∴√2x^2+(1-√2-y)x+y+1=0.
显然,x是实数, ∴需要(1-√2-y)^2-4√2(y+1)≧0,
∴1+2+y^2-2√2-2y+2√2y-4√2y-4√2≧0,
∴y^2-(2+2√2)y+3-4√2≧0.
由一元二次方程的求根公式,得:方程y^2-(2+2√2)y+3-4√2=0的判别式为:
(2+2√2)^2-4(3-4√2)=4+8√2+8-12+16√2=24√2.
∴方程y^2-(2+2√2)y+3-4√2=0的根是:
y1=[2+2√2-√(24√2)]/2=1+√2-√(6√2); y2=1+√2+√(6√2).
∴不等式y^2-(2+2√2)y+3-4√2≧0的解集是:
(-∞,1+√2-√(6√2))∪(1+√2+√(6√2),+∞).
考虑到y>0,∴y≧1+√2+√(6√2).
∴y的最小值是1+√2+√(6√2), ∴OM+ON+MN-√2-1的最小值是1+√2+√(6√2).
∴OM+ON+MN的最小值是:2+2√2+√(6√2).